Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 2.1.7*. Анализ функции $\mathrm{arctg}\left(2-\dfrac{4+5x}{1-3x}\right)$ ===== ==== Условие задачи ==== Задача повышенной сложности (со звёздочкой). Проанализировать функцию $f(x)=\mathrm{arctg}\left(2-\dfrac{4+5x}{1-3x}\right)$. Построить примерный график. ==== Решение ==== **1. Упрощение аргумента.** Приведём к общему знаменателю: $$2-\frac{4+5x}{1-3x}=\frac{2(1-3x)-(4+5x)}{1-3x}=\frac{2-6x-4-5x}{1-3x}=\frac{-2-11x}{1-3x}=\frac{11x+2}{3x-1}.$$ Итак, $f(x)=\mathrm{arctg}\,u(x)$, где $u(x)=\dfrac{11x+2}{3x-1}$. **2. Область определения.** $\mathrm{arctg}$ определён всюду, но $u(x)$ не определена при $x=\dfrac13$, поэтому $D(f)=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac13\right\}$. **3. Поведение около точки $x=1/3$.** При $x\to\frac13^-$: знаменатель $3x-1\to0^-$, числитель $\to\frac{17}{3}>0$, значит $u\to-\infty$ и $f(x)\to-\dfrac{\pi}{2}$. При $x\to\frac13^+$: $u\to+\infty$, $f(x)\to\dfrac{\pi}{2}$. Точка $x=\frac13$ — точка разрыва первого рода (скачок функции величиной $\pi$), не вертикальная асимптота (значения функции ограничены). **4. Горизонтальная асимптота.** При $x\to\pm\infty$: $u(x)\to\dfrac{11}{3}$, значит $$f(x)\to \mathrm{arctg}\,\frac{11}{3}\approx1{,}306 \quad (x\to\pm\infty).$$ Это горизонтальная асимптота $y=\mathrm{arctg}\frac{11}{3}$ и слева, и справа. **5. Монотонность.** Найдём производную. Пусть $u=\dfrac{11x+2}{3x-1}$, тогда $u'=\dfrac{11(3x-1)-3(11x+2)}{(3x-1)^2}=\dfrac{-17}{(3x-1)^2}$. $$f'(x)=\frac{u'}{1+u^2}=\frac{-17/(3x-1)^2}{1+\left(\frac{11x+2}{3x-1}\right)^2}=\frac{-17}{(3x-1)^2+(11x+2)^2}=\frac{-17}{130x^2+38x+5}.$$ Дискриминант знаменателя $38^2-4\cdot130\cdot5=1444-2600=-1156<0$, значит $130x^2+38x+5>0$ всегда, и $f'(x)<0$ на всей области определения — функция **строго убывает** на каждом из промежутков $\left(-\infty,\frac13\right)$ и $\left(\frac13,+\infty\right)$. Стационарных точек и экстремумов нет. **6. Выпуклость/вогнутость.** $$f''(x)=\frac{17(260x+38)}{(130x^2+38x+5)^2}.$$ Знаменатель всегда положителен, знак совпадает со знаком $260x+38$, то есть с $x+\dfrac{19}{130}$. При $x<-\dfrac{19}{130}$: $f''<0$ (выпукла вверх). При $x>-\dfrac{19}{130}$ (и $x\ne\frac13$): $f''>0$ (выпукла вниз). Точка перегиба $x=-\dfrac{19}{130}\approx-0{,}146$, где $u=-\dfrac{3}{11}$, $f=\mathrm{arctg}\left(-\dfrac3{11}\right)\approx-0{,}266$. **7. Примерный график.** Две убывающие ветви. Левая ($x<\frac13$): начинается на уровне $y\approx1{,}306$ при $x\to-\infty$, монотонно убывает, сначала выпукла вверх, после точки перегиба $\left(-\frac{19}{130},-0{,}266\right)$ — выпукла вниз, и убывает до $-\frac{\pi}{2}$ при $x\to\frac13^-$. Правая ($x>\frac13$): начинается чуть ниже $\frac{\pi}{2}$ при $x\to\frac13^+$, монотонно убывает (выпукла вниз на всей ветви, так как $-\frac{19}{130}<\frac13$), приближаясь к $y\approx1{,}306$ при $x\to+\infty$. В точке $x=\frac13$ график имеет разрыв (скачок вверх на $\pi$). ==== Ответ ==== $D(f)=\mathbb{R}\setminus\{1/3\}$; функция строго убывает на каждом из промежутков области определения; горизонтальная асимптота $y=\mathrm{arctg}\frac{11}{3}$ при $x\to\pm\infty$; в точке $x=1/3$ — разрыв первого рода со скачком от $-\pi/2$ до $\pi/2$; точка перегиба при $x=-19/130$; экстремумов нет.