Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 2.1.6*. Анализ функции $\sqrt{x^3-3x}$ ===== ==== Условие задачи ==== Задача повышенной сложности (со звёздочкой). Проанализировать функцию $f(x)=\sqrt{x^3-3x}$. Построить примерный график. ==== Решение ==== **1. Область определения.** Нужно $x^3-3x\ge0$, т.е. $x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)\ge0$. Исследуя знаки на промежутках, получаем $$D(f)=[-\sqrt3,\,0]\cup[\sqrt3,\,+\infty).$$ **2. Чётность/нечётность.** Область определения несимметрична относительно нуля — функция общего вида. **3. Асимптоты.** Вертикальных асимптот нет (в граничных точках функция принимает конечное значение $0$, но с бесконечной производной — вертикальная касательная). При $x\to+\infty$: $f(x)=\sqrt{x^3-3x}\sim x^{3/2}\to+\infty$ быстрее любой прямой, наклонной асимптоты нет. **4. Ветвь на $[-\sqrt3,0]$.** Обозначим $g(x)=x^3-3x$, тогда $f=\sqrt g$, $f'=\dfrac{g'}{2\sqrt g}=\dfrac{3x^2-3}{2\sqrt{x^3-3x}}$. На интервале $(-\sqrt3,0)$: $f'=0$ при $x=-1$ (значение $g(-1)=2>0$ — точка входит в область). При $-\sqrt3<x<-1$: $g'(x)=3(x^2-1)>0\Rightarrow f'>0$ — возрастание. При $-1<x<0$: $g'(x)<0\Rightarrow f'<0$ — убывание. Локальный максимум в $x=-1$: $f(-1)=\sqrt{2}$. На концах $x=-\sqrt3$ и $x=0$ производная стремится к $\pm\infty$ — вертикальные касательные (в $x=-\sqrt3$ кривая круто поднимается, в $x=0$ круто опускается к нулю). **5. Ветвь на $[\sqrt3,+\infty)$.** При $x>\sqrt3>1$ имеем $g'(x)=3(x^2-1)>0$ всегда, значит $f'(x)>0$ на всей ветви — функция строго возрастает от $f(\sqrt3)=0$ до $+\infty$. В точке $x=\sqrt3$ — вертикальная касательная ($f'\to+\infty$). **6. Выпуклость/вогнутость.** Вычисление второй производной громоздко; приведём результат: $$f''(x)=\frac{3(x^4-6x^2-3)}{4(x^3-3x)^{3/2}}.$$ На ветви $[-\sqrt3,0]$ числитель $x^4-6x^2-3$ отрицателен на всём интервале (проверяется подстановкой $u=x^2\in[0,3]$: $u^2-6u-3<0$ на этом промежутке), значит $f''<0$ — график выпуклый вверх на всей этой ветви, перегибов нет. На ветви $[\sqrt3,+\infty)$ уравнение $x^4-6x^2-3=0$ имеет корень $x=\sqrt{3+2\sqrt3}\approx2{,}54$. При $\sqrt3\le x<\sqrt{3+2\sqrt3}$ график выпуклый вверх, при $x>\sqrt{3+2\sqrt3}$ — выпуклый вниз; в точке $x=\sqrt{3+2\sqrt3}$ — перегиб ($f\approx2{,}97$). **7. Примерный график.** Состоит из двух отдельных кусков. Первый — "горб" над $[-\sqrt3,0]$: круто поднимается от $(-\sqrt3,0)$, достигает максимума $(-1,\sqrt2)$, круто спускается к $(0,0)$; весь горб выпуклый вверх. Второй — ветвь над $[\sqrt3,+\infty)$: круто поднимается от $(\sqrt3,0)$ и монотонно неограниченно растёт, сначала выпуклая вверх, после $x\approx2{,}54$ — выпуклая вниз. ==== Ответ ==== $D(f)=[-\sqrt3,0]\cup[\sqrt3,+\infty)$; на $[-\sqrt3,0]$ максимум $f(-1)=\sqrt2$, график выпуклый вверх; на $[\sqrt3,+\infty)$ функция монотонно возрастает от $0$ до $+\infty$ с точкой перегиба при $x=\sqrt{3+2\sqrt3}\approx2{,}54$; асимптот нет.