matan:2-1-5 [Математические заметки]

Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно.

===== 2.1.5. Анализ функции $x\sqrt{1+x}$ =====

==== Условие задачи ====
Проанализировать функцию $f(x)=x\sqrt{1+x}$. Построить примерный график.

==== Решение ====
**1. Область определения.** Требуется $1+x\ge0$, т.е. $D(f)=[-1,+\infty)$.

**2. Чётность/нечётность.** Область определения несимметрична — вопрос о чётности не рассматривается.

**3. Асимптоты.** Вертикальных асимптот нет (функция непрерывна на всей области определения). При $x\to+\infty$ функция растёт быстрее любой линейной — $f(x)\to+\infty$, наклонной асимптоты нет (проверяется: $f(x)/x=\sqrt{1+x}\to\infty$).

**4. Нули функции.** $f(x)=0$ при $x=0$ или $x=-1$ (границы и корень). $f(x)<0$ на $(-1,0)$, $f(x)>0$ на $(0,+\infty)$.

**5. Монотонность и экстремумы.**
$$f'(x)=\sqrt{1+x}+\frac{x}{2\sqrt{1+x}}=\frac{2(1+x)+x}{2\sqrt{1+x}}=\frac{2+3x}{2\sqrt{1+x}},\qquad x>-1.$$
(В точке $x=-1$ производная не существует — вертикальная касательная.)
$f'(x)=0$ при $x=-\dfrac23$.
$$f'(x)<0 \text{ на } \left(-1,-\frac23\right),\qquad f'(x)>0 \text{ на } \left(-\frac23,+\infty\right).$$
Локальный минимум в $x=-\dfrac23$: $f\left(-\frac23\right)=-\frac23\sqrt{\frac13}=-\frac{2\sqrt3}{9}\approx-0{,}385$.

**6. Выпуклость/вогнутость.**
$$f''(x)=\frac{4+3x}{4(1+x)^{3/2}}.$$
На всей области определения $x\ge-1$ выполнено $4+3x\ge1>0$, а $(1+x)^{3/2}>0$ при $x>-1$, поэтому $f''(x)>0$ везде — график всюду выпуклый вниз (вогнутый), точек перегиба нет.

**7. Примерный график.** Кривая начинается в точке $(-1,0)$ с вертикальной касательной, убывает до локального минимума в точке $\left(-\frac23,-\frac{2\sqrt3}{9}\right)$, затем возрастает, проходя через начало координат $(0,0)$, и далее неограниченно возрастает при $x\to+\infty$; график всюду выпуклый вниз (вогнутый), похож на левую половину параболы, "прижатую" к точке $(-1,0)$.

==== Ответ ====
$D(f)=[-1,+\infty)$; убывает на $\left[-1,-\frac23\right]$, возрастает на $\left[-\frac23,+\infty\right)$; минимум $f\left(-\frac23\right)=-\dfrac{2\sqrt3}{9}$; график всюду выпуклый вниз, точек перегиба нет; асимптот нет.