Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 1.6.1*. Найти и упростить производную ===== Задача повышенной сложности (со звёздочкой). ==== Условие задачи ==== Найти производную функции и упростить результат: $$ f(x) = 1 - x - \mathrm{ctg}(x)\ln(1+\sin x) + \ln\,\mathrm{tg}\!\left(\frac x2\right). $$ ==== Решение ==== Дифференцируем слагаемые по отдельности. $(1-x)' = -1$. Второе слагаемое — произведение $\mathrm{ctg}\,x\cdot\ln(1+\sin x)$: $$ (\mathrm{ctg}\,x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}, \qquad \bigl(\ln(1+\sin x)\bigr)' = \frac{\cos x}{1+\sin x}. $$ $$ \bigl(\mathrm{ctg}(x)\ln(1+\sin x)\bigr)' = -\frac{\ln(1+\sin x)}{\sin^2 x} + \mathrm{ctg}\,x\cdot\frac{\cos x}{1+\sin x}. $$ Третье слагаемое — стандартный результат: $$ \left(\ln\,\mathrm{tg}\frac x2\right)' = \frac{1}{\sin x}. $$ Собираем всё вместе (учитывая знак "минус" перед вторым слагаемым): $$ f'(x) = -1 + \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin^2 x} - \mathrm{ctg}(x)\cdot\frac{\cos x}{1+\sin x} + \frac{1}{\sin x}. $$ Заметим, что $\mathrm{ctg}\,x\cdot\cos x = \dfrac{\cos^2 x}{\sin x}$, поэтому третье и четвёртое слагаемые объединяются: $$ \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x(1+\sin x)} = \frac{(1+\sin x)-\cos^2 x}{\sin x(1+\sin x)} = \frac{\sin x+\sin^2 x}{\sin x(1+\sin x)} = \frac{\sin x(1+\sin x)}{\sin x(1+\sin x)} = 1. $$ Значит, $$ f'(x) = -1 + \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin^2 x} + 1 = \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin^2 x}. $$ ==== Ответ ==== $$ \boxed{f'(x) = \dfrac{\ln(1+\sin x)}{\sin^2 x}} $$