Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 1.5.1. Производная обратной функции: $(\ln x)'$ ===== ==== Условие задачи ==== Пользуясь тождеством $e^{\ln x}=x$ и правилом дифференцирования обратной функции, вывести формулу производной $(\ln x)'$. ==== Решение ==== Тождество $e^{\ln x} = x$ выполняется для всех $x>0$. Продифференцируем обе части по $x$, применяя цепное правило к левой части (внешняя функция $e^u$, внутренняя $u=\ln x$): $$ \left(e^{\ln x}\right)' = e^{\ln x}\cdot(\ln x)' = 1' = 1. $$ Так как $e^{\ln x}=x$, получаем: $$ x\cdot(\ln x)' = 1 \quad\Longrightarrow\quad (\ln x)' = \frac1x. $$ ==== Ответ ==== $$ \boxed{(\ln x)' = \dfrac{1}{x}} $$