Показать страницуИстория страницыСсылки сюдаНаверх Эта страница только для чтения. Вы можете посмотреть её исходный текст, но не можете его изменить. Сообщите администратору, если считаете, что это неправильно. ===== 1.4.1. Производная функции $\ln(x+\sqrt{1+x^2})$ ===== ==== Условие задачи ==== Найти производную функции $$ f(x) = \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) $$ (эта функция понадобится позже как первообразная для одной из табличных функций из темы интегралов). ==== Решение ==== $u = x+\sqrt{1+x^2}$, $u' = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}$. $$ f'(x) = \frac{u'}{u} = \frac{\dfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}. $$ Таким образом, $f(x)$ — первообразная для $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$. ==== Ответ ==== $$ \boxed{f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}} $$