math:t2-k2-23

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
math:t2-k2-23 [2023/06/06 13:05] – [1.] rootmath:t2-k2-23 [2023/06/08 05:29] (текущий) – [Задача 1.] root
Строка 1: Строка 1:
-===== 1. ===== +===== Задача 1. ===== 
  
 В стандартном евклидовом $\mathbb{R}^{3}$ задан оператор $A:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ В стандартном евклидовом $\mathbb{R}^{3}$ задан оператор $A:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$
-по правилу $A\vec{x}=\vec{x}\times\vec{u}-\left(\vec{u},\vec{x}\right)\vec{u}$ +по правилу $A\vec{x}=\vec{x}\times\vec{u}-\left(\vec{u},\vec{x}\right)\vec{u}$, $\ $  где $\ $ $\vec{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^{T}.$ 
-где $\vec{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^{T}.$ +
  
 Проверьте, что $A$ --- ортогональный оператор и найдите его канонический Проверьте, что $A$ --- ортогональный оператор и найдите его канонический
Строка 105: Строка 104:
 \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\
 -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 1\\+\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 1\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 112: Строка 111:
 \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\
 -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 1\\+\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 1\\ \hline
 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 150: Строка 149:
 \end{array}\right)=-e_{2}$$ \end{array}\right)=-e_{2}$$
  
-===== 2. ===== +===== Задача 2. ===== 
 Пусть базис $\vec{e}_{1},\vec{e}_{2}$ двумерного евклидова пространства Пусть базис $\vec{e}_{1},\vec{e}_{2}$ двумерного евклидова пространства
 $V$ имеет матрицу Грама  $V$ имеет матрицу Грама 
Строка 173: Строка 172:
 1 & 1\\ 1 & 1\\
 1 & 3 1 & 3
-\end{array}\right),$ тогда $G_{\vec{e}_{1}+\vec{e}_{2},\vec{e}_{1}+3\vec{e}_{2}}=\left(\begin{array}{cc}+\end{array}\right),$$ тогда $$G_{\vec{e}_{1}+\vec{e}_{2},\vec{e}_{1}+3\vec{e}_{2}}=\left(\begin{array}{cc}
 1 & 1\\ 1 & 1\\
 1 & 3 1 & 3
Строка 196: Строка 195:
 будет $S=\sqrt{\det\left(G_{\vec{e}_{1}+\vec{e}_{2};\vec{e}_{1}+3\vec{e}_{2}}\right)}=\sqrt{5-1}=2.$  будет $S=\sqrt{\det\left(G_{\vec{e}_{1}+\vec{e}_{2};\vec{e}_{1}+3\vec{e}_{2}}\right)}=\sqrt{5-1}=2.$ 
  
-===== 3. ===== +===== Задача 3. ===== 
  
 Найти сингулярное разложение и норму линейного отображения стандартных Найти сингулярное разложение и норму линейного отображения стандартных
Строка 275: Строка 274:
 \end{array}\right).$$ \end{array}\right).$$
  
-===== 4. ===== +===== Задача 4. ===== 
  
 Найти все комплексные числа $z,$ для которых матрица  Найти все комплексные числа $z,$ для которых матрица 
Строка 287: Строка 286:
 ----- -----
  
-Матрица диоганализируема, если оператор \guillemotleft нормальный\guillemotright ,+Матрица диоганализируема, если оператор **нормальный**,
 т.е. выполнено $AA^{*}=A^{*}A.$ В стандартном эрмитовом пространстве т.е. выполнено $AA^{*}=A^{*}A.$ В стандартном эрмитовом пространстве
 сопряжение это $A^{*}=A^{\dagger},$ следовательно, справедливо сопряжение это $A^{*}=A^{\dagger},$ следовательно, справедливо
Строка 321: Строка 320:
 В итоге получаем уравнение $1+|z|^{2}=5,$ следовательно $z=2e^{i\varphi}.$ В итоге получаем уравнение $1+|z|^{2}=5,$ следовательно $z=2e^{i\varphi}.$
  
-===== 5. ===== +===== Задача 5. ===== 
  
 Привести ортогональной заменой квадратичную форму $x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}$ Привести ортогональной заменой квадратичную форму $x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}$
Строка 357: Строка 356:
 2 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1\\
 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\
-1 & 0 & 1\\+1 & 0 & 1\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 364: Строка 363:
 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
-0 & 0 & 1\\+0 & 0 & 1\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 -1 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 0\\
Строка 377: Строка 376:
 -1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & 1\\
 1 & -2 & 0\\ 1 & -2 & 0\\
-1 & 0 & -2\\+1 & 0 & -2\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 384: Строка 383:
 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\
 0 & -2 & 0\\ 0 & -2 & 0\\
-0 & 0 & -2\\+0 & 0 & -2\\ \hline
 2 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 0\\
 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\
Строка 397: Строка 396:
 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0\\+1 & 0 & 0\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 404: Строка 403:
 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\\
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 0\\+1 & 0 & 0\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 416: Строка 415:
 придём к квадратичной форме в виде: $$-y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}.$$ придём к квадратичной форме в виде: $$-y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}.$$
  
-===== 6. ===== +===== Задача 6. ===== 
  
 Пусть $A$ --- кососимметричный оператор на евклидовом пространстве Пусть $A$ --- кососимметричный оператор на евклидовом пространстве