math:t2-k1-24

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
math:t2-k1-24 [2024/04/01 17:38] – [3.] rootmath:t2-k1-24 [2024/04/01 17:45] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-==== 1. ====+==== Задача 1. ====
 а) Найдите собственные числа и базис из собственных векторов оператора а) Найдите собственные числа и базис из собственных векторов оператора
 $R:\mathbb{R}[x]_{\leqslant2}\to\mathbb{R}[x]_{\leqslant2}$ , заданного $R:\mathbb{R}[x]_{\leqslant2}\to\mathbb{R}[x]_{\leqslant2}$ , заданного
-по правилу $R:f(x)7\to f(1-x)-f(x)$; +по правилу $R:f(x)\mapsto f(1-x)-f(x)$; 
  
 б) изобразите графики найденных базисных многочленов на отрезке $[0,1].$ б) изобразите графики найденных базисных многочленов на отрезке $[0,1].$
Строка 55: Строка 55:
 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\
 0 & 2 & 2\\ 0 & 2 & 2\\
-0 & 0 & 0\\+0 & 0 & 0\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 62: Строка 62:
 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1\\
 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2\\
-0 & 0 & 0\\+0 & 0 & 0\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 74: Строка 74:
 -2 & 1 & 1\\ -2 & 1 & 1\\
 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2\\
-0 & 0 & -2\\+0 & 0 & -2\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 81: Строка 81:
 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\
 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2\\
-0 & 0 & -2\\+0 & 0 & -2\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 2 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 0\\
Строка 87: Строка 87:
 \end{array}\right)$$ \end{array}\right)$$
  
-==== 2. ====+==== Задача 2. ====
 Найдите ядро и образ оператора P на $\mathbb{R}^{3}$ , заданного Найдите ядро и образ оператора P на $\mathbb{R}^{3}$ , заданного
 в стандартном ОНБ матрицей $E-uu^{T}$ , где $u$ --- это столбец, в стандартном ОНБ матрицей $E-uu^{T}$ , где $u$ --- это столбец,
Строка 120: Строка 120:
 8 & 2 & 2\\ 8 & 2 & 2\\
 2 & 5 & -4\\ 2 & 5 & -4\\
-2 & -4 & 5\\+2 & -4 & 5\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 127: Строка 127:
 8 & 4 & 2\\ 8 & 4 & 2\\
 2 & 1 & -4\\ 2 & 1 & -4\\
-2 & 1 & 5\\+2 & 1 & 5\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 134: Строка 134:
 0 & 4 & 2\\ 0 & 4 & 2\\
 0 & 1 & -4\\ 0 & 1 & -4\\
-0 & 1 & 5\\+0 & 1 & 5\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 -2 & 1 & 0\\ -2 & 1 & 0\\
Строка 144: Строка 144:
 $\left((1,-2,-2)^{T}(2,-4,5)^{T}\right)=2+8-10=0.$ $\left((1,-2,-2)^{T}(2,-4,5)^{T}\right)=2+8-10=0.$
  
-==== 3. ==== +==== Задача 3. ==== 
-Пусть $U$ --- подпространствов пространстве всех $2\times2$--матриц+Пусть $U$ --- подпространство в пространстве всех $2\times2$--матриц
 $M_{2}(\mathbb{R})$,  $M_{2}(\mathbb{R})$, 
-состоящее из матриц вида $\left(\begin{array}{cc}+состоящее из матриц вида  
 +$$\left(\begin{array}{cc}
 x & y\\ x & y\\
 z & -x z & -x
-\end{array}\right)$, $C_{A}:M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R})$ --- это оператор,+\end{array}\right),$$  
 +$C_{A}:M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R})$ --- это оператор,
 заданный по правилу $C_{A}(X)=AXA^{-1}$,  заданный по правилу $C_{A}(X)=AXA^{-1}$, 
-где $A=\left(\begin{array}{cc}+где  
 +$$A=\left(\begin{array}{cc}
 0 & 1\\ 0 & 1\\
 1 & 1 1 & 1
-\end{array}\right)$. Доказать, что $U$ инвариантно относительно $C_{A}$ и найти матрицу+\end{array}\right).$$  
 +Доказать, что $U$ инвариантно относительно $C_{A}$ и найти матрицу
 ограничения (сужения) $\left.C_{A}\right|_{U}$ в каком-нибудь базисе ограничения (сужения) $\left.C_{A}\right|_{U}$ в каком-нибудь базисе
-подпространства U. +подпространства $U.$ 
 ----- -----
  
Строка 165: Строка 169:
 \end{array}\right)\in U\subset M_{2}(\mathbb{R})$$ \end{array}\right)\in U\subset M_{2}(\mathbb{R})$$
  
-$$C_{A}(X)=AXA^{-1},$ где $A=\left(\begin{array}{cc}+$$C_{A}(X)=AXA^{-1},$$ где $$A=\left(\begin{array}{cc}
 0 & 1\\ 0 & 1\\
 1 & 1 1 & 1
-\end{array}\right)$, найдём $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}+\end{array}\right),$$ найдём  
 +$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}
 1 & -1\\ 1 & -1\\
 -1 & 0 -1 & 0
Строка 215: Строка 220:
 \end{array}\right).$$ \end{array}\right).$$
  
-==== 4. ====+==== Задача 4. ====
 Вычислить $\sin A,$ где $$A=\left(\begin{array}{cc} Вычислить $\sin A,$ где $$A=\left(\begin{array}{cc}
 \pi-1 & -1\\ \pi-1 & -1\\
Строка 245: Строка 250:
 \end{array}\right).$$ \end{array}\right).$$
  
-==== 5. ====+==== Задача 5. ====
 Доказать, что $\mathbb{R}^{2}$ есть прямая сумма собственных подпространств Доказать, что $\mathbb{R}^{2}$ есть прямая сумма собственных подпространств
 оператора с матрицей  оператора с матрицей 
Строка 264: Строка 269:
 для $\lambda=2$: $$\left(\begin{array}{cc} для $\lambda=2$: $$\left(\begin{array}{cc}
 1 & 1\\ 1 & 1\\
-1 & 1\\+1 & 1\\ \hline
 1 & 0\\ 1 & 0\\
 0 & 1 0 & 1
 \end{array}\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc} \end{array}\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc}
 0 & 1\\ 0 & 1\\
-0 & 1\\+0 & 1\\ \hline
 1 & 0\\ 1 & 0\\
 -1 & 1 -1 & 1
-\end{array}\right)$, собственный вектор $(1,-1)^{T},$$+\end{array}\right),$$ собственный вектор $(1,-1)^{T},$
  
 для $\lambda=4$: $$\left(\begin{array}{cc} для $\lambda=4$: $$\left(\begin{array}{cc}
 -1 & 1\\ -1 & 1\\
-1 & -1\\+1 & -1\\ \hline
 1 & 0\\ 1 & 0\\
 0 & 1 0 & 1
 \end{array}\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc} \end{array}\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc}
 0 & 1\\ 0 & 1\\
-0 & -1\\+0 & -1\\ \hline
 1 & 0\\ 1 & 0\\
 1 & 1 1 & 1