Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math:t2-k1-23 [2023/04/03 09:21] – создано root
+++ math:t2-k1-23 [2023/04/03 09:40] (текущий) – [Задача 3.] root
@@ Строка 109: / Строка 109: @@
 \\
 -1
-\end{array}\right),\text{\ensuremath{\left(\begin{array}{c}
+\end{array}\right),{\left(\begin{array}{c}
 \\
 \\
-\end{array}\right)}}\right\rangle .$$
+\end{array}\right)}\right\rangle .$$
 Вектор ядра ортогонален каждому вектору образа
@@ Строка 120: / Строка 120: @@
 \\
 -1
-\end{array}\right)\text{,\ensuremath{\left(\begin{array}{c}
+\end{array}\right), \ \ \left(\begin{array}{c}
 \\
 \\
-\end{array}\right)}}\right)=0,$$\left(\left(\begin{array}{c}
+\end{array}\right)\right)=0,\left(\left(\begin{array}{c}
 \\
 \\
-\end{array}\right)\text{,\ensuremath{\left(\begin{array}{c}
+\end{array}\right), \ \ \left(\begin{array}{c}
 \\
 \\
-\end{array}\right)}}\right)=0,$$ значит пространства ортогональны.
+\end{array}\right)\right)=0,$$ значит пространства ортогональны.
-. Пусть $S$ --- пространство симметрических матриц $X=\left(\begin{array}{cc}
+==== Задача 3. ====
+Пусть $S$ --- пространство симметрических матриц
+$$X=\left(\begin{array}{cc}
 x & y\\
 y & z
-\end{array}\right)$
+\end{array}\right)$$
 над $\mathbb{R}$, $L_{A}:S\to S$ --- это оператор, заданный по
 правилу $L_{A}(X)=AX+XA^{T},$
+где
-где $A=\left(\begin{array}{cc}
+$$A=\left(\begin{array}{cc}
 & 1\\
 & 0
-\end{array}\right).$ Найти жорданову форму оператора $L_{A}.$
+\end{array}\right).$$
+Найти жорданову форму оператора $L_{A}.$
+-----
-$L_{A}(X)=\left(\begin{array}{cc}
+$$L_{A}(X)=\left(\begin{array}{cc}
 & 1\\
 & 0
@@ Строка 168: / Строка 171: @@
 y & z\\
 z & 0
-\end{array}\right)$
+\end{array}\right).$$
 Выберем базис в пространстве симметрических матриц так, что
-$X=\left(\begin{array}{cc}
+$$X=\left(\begin{array}{cc}
 x & y\\
 y & z
-\end{array}\right)=e_{1}x+e_{2}y+e_{3}z,$ тогда
+\end{array}\right)=e_{1}x+e_{2}y+e_{3}z,$$ тогда
-$L_{A}\left(\begin{array}{c}
+$$L_{A}\left(\begin{array}{c}
 x\\
 y\\
@@ Строка 185: / Строка 188: @@
 z\\
-\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
+\end{array}\right) \ \ \Rightarrow \ \ L_{A}=\left(\begin{array}{ccc}
 & 2 & 0\\
 & 0 & 1\\
 & 0 & 0
-\end{array}\right)=S$
+\end{array}\right).$$
-так как собственные числа все равны нулю и $S^{2}\neq0,$ следовательно,
+Так как собственные числа все равны нулю и $L_{A}^{2}\neq0,$ следовательно,
-$J_{S}=\left(\begin{array}{ccc}
+$$J_{L_{A}}=\left(\begin{array}{ccc}
 & 1 & 0\\
 & 0 & 1\\
 & 0 & 0
-\end{array}\right).$
+\end{array}\right).$$
-. Вычислить $A^{100},$ для матрицы
+==== Задача 4. ====
+Вычислить $A^{100},$ для матрицы
-$A=\left(\begin{array}{cc}
+$$A=\left(\begin{array}{cc}
 & -1\\
 & 1
-\end{array}\right)$
+\end{array}\right)$$
+-----
 Найдём собственные числа:
-$\chi(x)=-x^{2}+4-4=(2-x)^{2}$
+$$\chi(x)=-x^{2}+4-4=(2-x)^{2}.$$
 Собственные числа $x_{1,2}=2$ вырожденные, кратности 2.
@@ Строка 214: / Строка 220: @@
 преобразования к жордановой форме:
-$f\left(A\right)=f\left(\lambda_{1}\right)E+f^{'}\left(\lambda_{1}\right)\left(A-\lambda_{1}E\right)=2^{100}E+100\cdot2^{99}\left(A-2E\right)=$
+$$f\left(A\right)=f\left(\lambda_{1}\right)E+f^{'}\left(\lambda_{1}\right)\left(A-\lambda_{1}E\right)=2^{100}E+100\cdot2^{99}\left(A-2E\right)=$$
-$2^{100}\left(E+50\left(A-2E\right)\right)=2^{100}\left(50A-99E\right)=2^{100}\left(\begin{array}{cc}
+$$2^{100}\left(E+50\left(A-2E\right)\right)=2^{100}\left(50A-99E\right)=2^{100}\left(\begin{array}{cc}
 & -50\\
 & -49
-\end{array}\right)$
+\end{array}\right).$$
-.
+==== Задача 5. ====
 Оператор $\Phi:\mathbb{R}[x]_{\leqslant2}\to\mathbb{R}[x]_{\leqslant2}$
 на пространстве многочленов степени $\leqslant2$ задан по правилу
-$\Phi\left(f\left(x\right)\right)=f\left(2\right)x^{2}+\left(f\left(0\right)-2f\left(2\right)\right)x+f\left(2\right)-f\left(0\right).$
+$$\Phi\left(f\left(x\right)\right)=f\left(2\right)x^{2}+\left(f\left(0\right)-2f\left(2\right)\right)x+f\left(2\right)-f\left(0\right).$$
 Доказать, что подпространство $L=\left\langle x-1,(x-1)^{2}\right\rangle $
 инвариантно относительно $\Phi$.
+-----
 Посмотрим как действует оператор $\Phi$ на многочлены $x-1$ и $(x-1)^{2}$:
-$\Phi\left(x-1\right)=1x^{2}+\left(-1-2\right)x+1-\left(-1\right)=x^{2}-3x+2=\left(x-1\right)^{2}-\left(x-1\right)$
+$$\Phi\left(x-1\right)=1x^{2}+\left(-1-2\right)x+1-\left(-1\right)=x^{2}-3x+2=\left(x-1\right)^{2}-\left(x-1\right);$$
-$\Phi\left(\left(x-1\right)^{2}\right)=\left(1-2\cdot2+1\cdot4\right)x^{2}-\left(1-2\cdot4+1\cdot8\right)x-2\cdot2+1\cdot4=x^{2}-x=\left(x-1\right)^{2}+\left(x-1\right),$
+$$\Phi\left(\left(x-1\right)^{2}\right)=\left(1-2\cdot2+1\cdot4\right)x^{2}-\left(1-2\cdot4+1\cdot8\right)x-2\cdot2+1\cdot4=x^{2}-x=\left(x-1\right)^{2}+\left(x-1\right),$$
-следовательно, произвольный вектор $\alpha\left(x-1\right)^{2}+\beta\left(x-1\right)\in L$
+следовательно, произвольный вектор $$\alpha\left(x-1\right)^{2}+\beta\left(x-1\right)\in L$$
 под действием оператора
-$\Phi\left(\alpha\left(x-1\right)^{2}+\beta\left(x-1\right)\right)=\alpha\Phi\left(\left(x-1\right)^{2}\right)+\beta\Phi\left(x-1\right)=$
+$$\Phi\left(\alpha\left(x-1\right)^{2}+\beta\left(x-1\right)\right)=\alpha\Phi\left(\left(x-1\right)^{2}\right)+\beta\Phi\left(x-1\right)=$$
-$\alpha\left(\left(x-1\right)^{2}+\left(x-1\right)\right)+\beta\left(\left(x-1\right)^{2}-\left(x-1\right)\right)=\left(\alpha+\beta\right)\left(x-1\right)^{2}+\left(\alpha-\beta\right)\left(x-1\right)\in L$
+$$\alpha\left(\left(x-1\right)^{2}+\left(x-1\right)\right)+\beta\left(\left(x-1\right)^{2}-\left(x-1\right)\right)=\left(\alpha+\beta\right)\left(x-1\right)^{2}+\left(\alpha-\beta\right)\left(x-1\right)\in L$$
 в вектор того же пространства.
+-----
 Заметим, что произвольный многочлен $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$
@@ Строка 251: / Строка 261: @@
 перейдёт в
-$\Phi\left(f\left(x\right)\right)=\left(a_{0}+a_{1}2+a_{2}4\right)x^{2}-\left(a_{0}+a_{1}4+a_{2}8\right)x+a_{1}2+a_{2}4,$
+$$\Phi\left(f\left(x\right)\right)=\left(a_{0}+a_{1}2+a_{2}4\right)x^{2}-\left(a_{0}+a_{1}4+a_{2}8\right)x+a_{1}2+a_{2}4,$$
 при этом, если корень многочлена единичный $f(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}=0,$
 то он под действием оператора так же будет иметь единичный корень:
-$\Phi\left(f\left(1\right)\right)=\left(a_{0}+a_{1}2+a_{2}4\right)1^{2}-\left(a_{0}+a_{1}4+a_{2}8\right)1+a_{1}2+a_{2}4=0,$
+$$\Phi\left(f\left(1\right)\right)=\left(a_{0}+a_{1}2+a_{2}4\right)1^{2}-\left(a_{0}+a_{1}4+a_{2}8\right)1+a_{1}2+a_{2}4=0,$$
-$\Phi\left(x-1\right)=1x^{2}+\left(-1-2\right)x+1-\left(-1\right)=x^{2}-3x+2=\left(x-1\right)^{2}-\left(x-1\right)$,
 значит все многочлены $f\left(1\right)=0$ как раз и образуют инвариантное
 подпространство нашего оператора.