math:t2-k1

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия		 Предыдущая версия
math:t2-k1 [2023/03/28 05:57] – создано rootmath:t2-k1 [2024/03/27 03:18] (текущий) – [Задача 1.] root
Строка 8: Строка 8:
 ему не ортогонален, ортогонализуем  ему не ортогонален, ортогонализуем 
  
-$$f_{2}=e_{2}-\alpha_{1}f_{1},$ где $\alpha_{1}=\frac{\left(e_{2},f_{1}\right)}{\left(f_{1},f_{1}\right)}=\frac{1\cdot2+0\cdot(-1)+1\cdot0}{1\cdot1+0\cdot0+1\cdot1}=\frac{2}{2}=1,$$+$$f_{2}=e_{2}-\alpha_{1}f_{1},$$ где $$\alpha_{1}=\frac{\left(e_{2},f_{1}\right)}{\left(f_{1},f_{1}\right)}=\frac{1\cdot2+0\cdot(-1)+1\cdot0}{1\cdot1+0\cdot0+1\cdot1}=\frac{2}{2}=1,$$
 тогда тогда
  
-$$f_{2}=\left(2,-1,0\right)^{T}-\left(1,0,1\right)^{T}=\left(1,-1,-1\right)^{T}.$ +$$f_{2}=\left(2,-1,0\right)^{T}-\left(1,0,1\right)^{T}=\left(1,-1,-1\right)^{T}.$$ 
-Третий вектор $f_{3}=e_{3}$ т.к. $\left(e_{3},f_{1}\right)=\left(e_{3},f_{2}\right)=0.$$+Третий вектор $f_{3}=e_{3}$ т.к. $\left(e_{3},f_{1}\right)=\left(e_{3},f_{2}\right)=0.$
  
 Таким образом новый базис $f_{1}=e_{1};f_{2}=e_{2}-e_{1};f_{3}=e_{2}$ Таким образом новый базис $f_{1}=e_{1};f_{2}=e_{2}-e_{1};f_{3}=e_{2}$
 и матрица перехода  и матрица перехода 
  
-$$(f_{1},f_{2},f_{3})=(f_{1},f_{2},f_{3})\left(\begin{array}{ccc}+$$(f_{1},f_{2},f_{3})=(e_{1},e_{2},e_{3})\left(\begin{array}{ccc}
 1 & -1 & 0\\ 1 & -1 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 30: Строка 30:
  
 ==== Задача 2. ====  ==== Задача 2. ==== 
-Найти ядро и образ оператора на $\mathbb{R}^{3}$ с матрицей $A=3E-x\cdot x^{T}$ +Найти ядро и образ оператора на $\mathbb{R}^{3}$ с матрицей $A=3E-x\cdot x^{T}$, где $x=(1,1,1)^{T}$, $E$ --- единичная матрица.  
-, где $x=(1,1,1)^{T}$, $E$ --- единичная матрица. +-----
  
-$A=3\left(\begin{array}{ccc}+$$A=3\left(\begin{array}{ccc}
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 54: Строка 54:
 -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -1\\
 -1 & -1 & 2 -1 & -1 & 2
-\end{array}\right)$+\end{array}\right)$$
  
 найдём ядро и образ найдём ядро и образ
  
-$\left(\begin{array}{ccc}+$$\left(\begin{array}{ccc}
 2 & -1 & -1\\ 2 & -1 & -1\\
 -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -1\\
--1 & -1 & 2\\+-1 & -1 & 2\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 68: Строка 68:
 0 & -1 & -1\\ 0 & -1 & -1\\
 0 & 2 & -1\\ 0 & 2 & -1\\
-0 & -1 & 2\\+0 & -1 & 2\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\
Строка 75: Строка 75:
 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & -1\\
 0 & 3 & -1\\ 0 & 3 & -1\\
-0 & -3 & 2\\+0 & -3 & 2\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\
 1 & -1 & 1 1 & -1 & 1
-\end{array}\right)$+\end{array}\right)$$
  
-В итоге $\ker A=\left\langle (1,1,1)^{T}\right\rangle $, $\text{Im}A=\left\langle (0,3,-3)^{T},(-1,-1,2)^{T}\right\rangle $+В итоге $\ker A=\left\langle (1,1,1)^{T}\right\rangle $, $\text{Im}A=\left\langle (0,3,-3)^{T},(-1,-1,2)^{T}\right\rangle $.
  
 ==== Задача 3. ====  ==== Задача 3. ==== 
Строка 92: Строка 92:
  
 в) найдите жорданову форму оператора $D$.  в) найдите жорданову форму оператора $D$. 
 +-----
  
 $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},$ тогда  $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},$ тогда 
  
-$D\left(f(x)\right)=a_{0}+a_{1}\left(x+1\right)+a_{2}\left(x+1\right)^{2}-\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\right)=$+$$D\left(f(x)\right)=a_{0}+a_{1}\left(x+1\right)+a_{2}\left(x+1\right)^{2}-\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\right)=$$
  
-$a_{0}+a_{1}x+a_{1}+a_{2}x^{2}+2a_{2}x+a_{2}-\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\right)=a_{1}+a_{2}+2a_{2}x$+$$a_{0}+a_{1}x+a_{1}+a_{2}x^{2}+2a_{2}x+a_{2}-\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\right)=a_{1}+a_{2}+2a_{2}x.$$
  
 Матрицу запишем при действии на вектор $\left(a_{0},a_{1},a_{2}\right)^{T}:$ Матрицу запишем при действии на вектор $\left(a_{0},a_{1},a_{2}\right)^{T}:$
  
-$\left(\begin{array}{c}+$$\left(\begin{array}{c}
 a_{1}+a_{2}\\ a_{1}+a_{2}\\
 2a_{2}\\ 2a_{2}\\
Строка 113: Строка 114:
 a_{1}\\ a_{1}\\
 a_{2} a_{2}
-\end{array}\right)$, +\end{array}\right),$$ 
  
-тогда $A=\left(\begin{array}{ccc}+тогда  
 +$$A=\left(\begin{array}{ccc}
 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\
 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2\\
 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
-\end{array}\right);$$A^{2}=\left(\begin{array}{ccc}+\end{array}\right);$$ 
 + 
 + 
 +$$A^{2}=\left(\begin{array}{ccc}
 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2\\
 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\
Строка 127: Строка 132:
 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
-\end{array}\right)$+\end{array}\right),$$
  
 следовательно, матрица $A$ нильпотентна. Раз собственные числа только следовательно, матрица $A$ нильпотентна. Раз собственные числа только
 нулевые и $A^{2}\neq0,$то жорданова форма нулевые и $A^{2}\neq0,$то жорданова форма
  
-$J_{A}=\left(\begin{array}{ccc}+$$J_{A}=\left(\begin{array}{ccc}
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1\\
 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
-\end{array}\right),$ для которой $J_{A}\neq0.$+\end{array}\right),$$ для которой $J_{A}\neq0.$
  
 ==== Задача 4. ====  ==== Задача 4. ==== 
 Вычислить $\det(e^{A})$ для матрицы  Вычислить $\det(e^{A})$ для матрицы 
  
-$A=\left(\begin{array}{cc}+$$A=\left(\begin{array}{cc}
 3 & -1\\ 3 & -1\\
 1 & 1 1 & 1
-\end{array}\right)$+\end{array}\right).$$ 
 +-----
  
-Находим собственные числа $\chi\left(\lambda\right)=\left(-\lambda\right)^{2}-4\lambda+4=\left(\lambda-2\right)^{2}$+Находим собственные числа $$\chi\left(\lambda\right)=\left(-\lambda\right)^{2}-4\lambda+4=\left(\lambda-2\right)^{2}.$$
  
-Вспоминаем формулу вычисления матричной функции при вырожденном корне:+Вспоминаем [[math:t2-04#Построение функции от матрицы без нахождения матрицы преобразования|формулу]] вычисления матричной функции при вырожденном корне:
  
-$f\left(A\right)=f\left(\lambda_{1}\right)E+f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right)\left(A-\lambda_{1}E\right)=$+$$f\left(A\right)=f\left(\lambda_{1}\right)E+f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right)\left(A-\lambda_{1}E\right)=$$
  
-$e^{2}E+e^{2}\left(A-2E\right)=e^{2}\left(\begin{array}{cc}+$$e^{2}E+e^{2}\left(A-2E\right)=e^{2}\left(\begin{array}{cc}
 1 & 0\\ 1 & 0\\
 0 & 1 0 & 1
Строка 170: Строка 176:
 2e^{2} & -e^{2}\\ 2e^{2} & -e^{2}\\
 e^{2} & 0 e^{2} & 0
-\end{array}\right)$+\end{array}\right)$$
  
 тогда тогда
  
-$\det\left(\begin{array}{cc}+$$\det\left(\begin{array}{cc}
 2e^{2} & -e^{2}\\ 2e^{2} & -e^{2}\\
 e^{2} & 0 e^{2} & 0
-\end{array}\right)=e^{2}e^{2}=e^{4}$+\end{array}\right)=e^{2}e^{2}=e^{4}.$$
  
 С другой стороны мы просто убедились, что $\det e^{A}=e^{\text{Tr}A}.$ С другой стороны мы просто убедились, что $\det e^{A}=e^{\text{Tr}A}.$
Строка 187: Строка 193:
 где  где 
  
-$A=\left(\begin{array}{cc}+$$A=\left(\begin{array}{cc}
 1 & 1\\ 1 & 1\\
 0 & -2 0 & -2
-\end{array}\right)$+\end{array}\right).$$
  
 Пусть $U$ --- линейная оболочка матриц $E,A$: $U=\left\langle E,A\right\rangle \subset M_{2}(\mathbb{R}).$ Пусть $U$ --- линейная оболочка матриц $E,A$: $U=\left\langle E,A\right\rangle \subset M_{2}(\mathbb{R}).$
Строка 196: Строка 202:
 относительно $L_{A}$, и запишите матрицу ограничения (сужения) $L_{A}|_{U}$ относительно $L_{A}$, и запишите матрицу ограничения (сужения) $L_{A}|_{U}$
 в базисе $\left\{ E,A\right\} $ подпространства $U$. в базисе $\left\{ E,A\right\} $ подпространства $U$.
 +
 +-----
  
 То, что $U$ --- линейная оболочка матриц $U=\left\langle E,A\right\rangle $, То, что $U$ --- линейная оболочка матриц $U=\left\langle E,A\right\rangle $,
-следовательно, произвольный \guillemotleft вектор\guillemotright{} +следовательно, произвольный <<вектор>> 
-$X\in U$ можно представить в виде $X=\alpha E+\beta A,$ где $\alpha,\beta\in\mathbb{R},$ +$X\in U$ можно представить в виде $$X=\alpha E+\beta A, \text{ где } \alpha,\beta\in\mathbb{R},$$ 
-при этом \guillemotleft вектора\guillemotright{} $E,A$ являются базисными. +при этом <<вектора>> $E,A$ являются базисными. 
-Подействуем оператором $L_{A}$ на произвольный \guillemotleft вектор\guillemotright{} +Подействуем оператором $L_{A}$ на произвольный <<вектор>> 
-$L_{A}(X)=L_{A}\left(\alpha E+\beta A\right)=A\left(\alpha E+\beta A\right)=\alpha A+\beta A^{2}$+$$L_{A}(X)=L_{A}\left(\alpha E+\beta A\right)=A\left(\alpha E+\beta A\right)=\alpha A+\beta A^{2}$$
  
-Найдём сначала $A^{2}=\left(\begin{array}{cc}+Найдём сначала $$A^{2}=\left(\begin{array}{cc}
 1 & 1\\ 1 & 1\\
 0 & -2 0 & -2
Строка 216: Строка 224:
 x+y & y\\ x+y & y\\
 0 & x-2y 0 & x-2y
-\end{array}\right),$+\end{array}\right),$$
  
 решая систему получим, что $y=-1,x=2$ и $A^{2}=2E-A,$ тогда решая систему получим, что $y=-1,x=2$ и $A^{2}=2E-A,$ тогда
  
-$L_{A}(X)=L_{A}\left(\alpha E+\beta A\right)=\alpha A+\beta A^{2}=\alpha A+\beta\left(2E-A\right)=2\beta E+\left(\alpha-\beta\right)A$+$$L_{A}(X)=L_{A}\left(\alpha E+\beta A\right)=\alpha A+\beta A^{2}=\alpha A+\beta\left(2E-A\right)=2\beta E+\left(\alpha-\beta\right)A.$$
  
 Таким образом, вектор $X$ в базисе $\left\{ E,A\right\} $ можно Таким образом, вектор $X$ в базисе $\left\{ E,A\right\} $ можно
 представить в виде $\left(\alpha,\beta\right)^{T}$ и под действием представить в виде $\left(\alpha,\beta\right)^{T}$ и под действием
-оператора $L_{A}$ переходит в вектор $\left(2\beta,\alpha-\beta\right)$ +оператора $L_{A}$ переходит в вектор $\left(2\beta,\alpha-\beta\right)$, следовательно, матрица сужения $L_{A}|_{U}$ :
-то матрица сужения $L_{A}|_{U}$ :+
  
-$\left(\begin{array}{c}+$$\left(\begin{array}{c}
 2\beta\\ 2\beta\\
 \alpha-\beta \alpha-\beta
Строка 239: Строка 246:
 \alpha\\ \alpha\\
 \beta \beta
-\end{array}\right)$, так что+\end{array}\right),$$ так что
  
-$L_{A}|_{U}=\left(\begin{array}{cc}+$$L_{A}|_{U}=\left(\begin{array}{cc}
 0 & 2\\ 0 & 2\\
 1 & -1 1 & -1
-\end{array}\right).$+\end{array}\right).$$