math:t2-04

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
math:t2-04 [2022/03/22 19:43] – rootmath:t2-04 [2023/03/12 15:06] (текущий) – [Построение функции от матрицы без нахождения матрицы преобразования] root
Строка 1: Строка 1:
-=====Функции от матриц=====+===== Функции от матриц =====
  
 Функция $f$ от матрицы $A$, если она определена, то её можно найти Функция $f$ от матрицы $A$, если она определена, то её можно найти
Строка 115: Строка 115:
 5 & -7 & 3\\ 5 & -7 & 3\\
 1 & -2 & 1 1 & -2 & 1
-\end{array}\right)\underset{\to}{(2)-5(3)}\left(\begin{array}{ccc}+\end{array}\right)\underset{\to}{(2)-5(3)} 
 +$$ 
 +$$ 
 +\left(\begin{array}{ccc}
 0 & 3 & -2\\ 0 & 3 & -2\\
 0 & 3 & -2\\ 0 & 3 & -2\\
Строка 143: Строка 146:
 5 & -8 & 3\\ 5 & -8 & 3\\
 6 & -9 & 3\\ 6 & -9 & 3\\
 +\hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 150: Строка 154:
 5 & 0 & 3\\ 5 & 0 & 3\\
 6 & 0 & 3\\ 6 & 0 & 3\\
 +\hline
 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1
-\end{array}\right)\underset{\to}{(1)-2(3)}\left(\begin{array}{ccc}+\end{array}\right)\underset{\to}{(1)-2(3)} 
 +$$ 
 +$$ 
 +\left(\begin{array}{ccc}
 -1 & 0 & 2\\ -1 & 0 & 2\\
 -1 & 0 & 3\\ -1 & 0 & 3\\
 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 3\\
 +\hline
 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 164: Строка 173:
 -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1\\
 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 3\\
 +\hline
 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 171: Строка 181:
 Таким образом базис ядра как мы и находили раньше $(1,1,1)^{T},$ Таким образом базис ядра как мы и находили раньше $(1,1,1)^{T},$
 а базис образа $\left\langle (-1,-1,0)^{T},(0,1,3)^{T}\right\rangle .$ а базис образа $\left\langle (-1,-1,0)^{T},(0,1,3)^{T}\right\rangle .$
-Подействуем на вектор матрицей $A_{2}$+Подействуем на второй вектор матрицей $A_{2}$
  
 $$\left(\begin{array}{ccc} $$\left(\begin{array}{ccc}
Строка 216: Строка 226:
 0 & 2^{4} & 0\\ 0 & 2^{4} & 0\\
 0 & 0 & 3^{4} 0 & 0 & 3^{4}
-\end{array}\right)T^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}+\end{array}\right)T^{-1}= 
 +$$ 
 +$$ 
 +\left(\begin{array}{ccc}
 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\\
 2 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1\\
Строка 249: Строка 262:
 291 & -387 & 177 291 & -387 & 177
 \end{array}\right).$$ \end{array}\right).$$
 +
 +Теперь легко уже найти и матричную экспоненту --- $e^{A}$, действительно,
 +теперь рассмотрим $f(x)=e^{x},$ тогда:
 +
 +$$e^{A}=f(A)=f(TJ_{A}T^{-1})=Tf(J_{A})T^{-1}=$$
 +
 +$$T\left(\begin{array}{ccc}
 +f(2) & \frac{1}{1!}f'(2) & 0\\
 +0 & f(2) & 0\\
 +0 & 0 & f(3)
 +\end{array}\right)T^{-1}=T\left(\begin{array}{ccc}
 +e^{2} & e^{2} & 0\\
 +0 & e^{2} & 0\\
 +0 & 0 & e^{3}
 +\end{array}\right)T^{-1}=
 +$$
 +$$
 +\left(\begin{array}{ccc}
 +1 & 0 & 1\\
 +2 & 1 & 1\\
 +3 & 3 & 1
 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
 +e^{2} & e^{2} & 0\\
 +0 & e^{2} & 0\\
 +0 & 0 & e^{3}
 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
 +-2 & 3 & -1\\
 +1 & -2 & 1\\
 +3 & -3 & 1
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
 +3\,e^{3}-e^{2} & -3\,e^{3}+e^{2} & e^{3}\\
 +3\,e^{3}-e^{2} & -3\,e^{3} & e^{3}+e^{2}\\
 +3\,e^{3} & -3\,e^{3}-3\,e^{2} & e^{3}+3\,e^{2}
 +\end{array}\right).$$
 +
 +===== Построение функции от матрицы без нахождения матрицы преобразования =====
 +
 +Рассмотрим функцию $f$ от матрицы второго порядка $A$. Её жорданова
 +форма $$J_{A}=\left(\begin{array}{cc}
 +\lambda_{1} & 0\\
 +0 & \lambda_{2}
 +\end{array}\right).$$
 +
 +Так как $$f\left(J_{A}\right)=\left(\begin{array}{cc}
 +f\left(\lambda_{1}\right) & 0\\
 +0 & f\left(\lambda_{2}\right)
 +\end{array}\right),$$ то надо найти такую процедуру что бы вместо собственного числа в
 +матрице $J_{A}$ подставить формулу от собственного числа $\lambda_{i}\mapsto f\left(\lambda_{i}\right).$
 +Рассмотрим выражение
 +
 +$$J_{A}-\lambda_{1}E=\left(\begin{array}{cc}
 +\lambda_{1}-\lambda_{1} & 0\\
 +0 & \lambda_{2}-\lambda_{1}
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
 +0 & 0\\
 +0 & \lambda_{2}-\lambda_{1}
 +\end{array}\right)=(\lambda_{2}-\lambda_{1})\left(\begin{array}{cc}
 +0 & 0\\
 +0 & 1
 +\end{array}\right).$$
 +
 +Теперь поместим в это место функцию:
 +
 +$$\frac{f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(J_{A}-\lambda_{1}E\right)=\frac{f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})\left(\begin{array}{cc}
 +0 & 0\\
 +0 & 1
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
 +0 & 0\\
 +0 & f\left(\lambda_{2}\right)
 +\end{array}\right).$$
 +
 +Аналогично проделаем с первым собственным числом:
 +
 +$$\frac{f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left(J_{A}-\lambda_{2}E\right)=\frac{f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}(\lambda_{1}-\lambda_{2})\left(\begin{array}{cc}
 +1 & 0\\
 +0 & 0
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
 +f\left(\lambda_{1}\right) & 0\\
 +0 & 0
 +\end{array}\right).$$
 +
 +Осталось сложить:
 +
 +$$f\left(J_{A}\right)=\left(\begin{array}{cc}
 +f\left(\lambda_{1}\right) & 0\\
 +0 & f\left(\lambda_{2}\right)
 +\end{array}\right)=\frac{f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left(J_{A}-\lambda_{2}E\right)+\frac{f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(J_{A}-\lambda_{1}E\right).$$
 +
 +Восстановим теперь первоначальную матрицу, полученную при помощи преобразования
 +$A=TJ_{A}T^{-1}:$
 +
 +$$f\left(A\right)=f\left(TJ_{A}T^{-1}\right)=Tf\left(J_{A}\right)T^{-1}=
 +$$
 +$$T\left(\frac{f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left(J_{A}-\lambda_{2}E\right)+\frac{f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(J_{A}-\lambda_{1}E\right)\right)T^{-1}=$$
 +$$\left(\frac{f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left(TJ_{A}T^{-1}-\lambda_{2}TET^{-1}\right)+\frac{f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(TJ_{A}T^{-1}-\lambda_{1}TET^{-1}\right)\right)=$$
 +$$\left(\frac{f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left(A-\lambda_{2}E\right)+\frac{f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(A-\lambda_{1}E\right)\right).$$
 +
 +Это равенство можно записать в виде нулевого определителя для условной
 +матрицы:
 +
 +$$\left|\begin{array}{ccc}
 +E & A & f\left(A\right)\\
 +1 & \lambda_{1} & f\left(\lambda_{1}\right)\\
 +1 & \lambda_{2} & f\left(\lambda_{2}\right)
 +\end{array}\right|=0,$$
 +
 +где $E,A,f\left(A\right)$ не матрицы, а просто некоторые символы.
 +
 +Функция от матрицы определена, если функция определена на спектре,
 +т.е. определена при $\lambda_{1},\lambda_{2}:$ $f\left(\lambda_{1}\right)$
 +и $f\left(\lambda_{2}\right).$ Если собственное значение вырождено, то $\lambda_{1}\to\lambda_{2}$ и
 +
 +
 +$$f\left(A\right)=\frac{f\left(\lambda_{1}\right)-f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}A+\frac{\lambda_{1}f\left(\lambda_{2}\right)-\lambda_{2}f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}E=$$
 +$$
 +\frac{f\left(\lambda_{1}\right)-f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}A+\frac{\lambda_{1}f\left(\lambda_{2}\right)-\lambda_{2}f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}E\to$$
 +$$f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right)A+\left(f\left(\lambda_{1}\right)-\lambda_{1}f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right)\right)E$$
 +
 +так, что
 +
 +$$f\left(A\right)=f\left(\lambda_{1}\right)+f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right)\left(A-\lambda_{1}E\right),$$
 +где
 +$f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right)$ --- первая производная.
 +
 +Это равенство можно записать в виде нулевого определителя для условной
 +матрицы:
 +
 +$$\left|\begin{array}{ccc}
 +E & A & f\left(A\right)\\
 +1 & \lambda_{1} & f\left(\lambda_{1}\right)\\
 +0 & 1 & f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right)
 +\end{array}\right|=0.$$
 +
 +Примечательно, что результат получился общий --- как для случая жордановой
 +клетки $$J_{A}=\left(\begin{array}{cc}
 +\lambda_{1} & 0\\
 +0 & \lambda_{1}
 +\end{array}\right),$$ так и для 
 +$$J_{A}=\left(\begin{array}{cc}
 +\lambda_{1} & 1\\
 +0 & \lambda_{1}
 +\end{array}\right).$$
 +
 +Что бы понять как будет меняться функция рассмотрим матрицы третьего
 +порядка $A$. Её жорданова форма $$J_{A}=\left(\begin{array}{ccc}
 +\lambda_{1} & 0 & 0\\
 +0 & \lambda_{2} & 0\\
 +0 & 0 & \lambda_{3}
 +\end{array}\right).$$ 
 +
 +Выделим сначала матрицу с первым элементом, для этого рассмотрим матрицы: 
 +
 +$$J_{A}-\lambda_{2}E=\left(\begin{array}{ccc}
 +\lambda_{1}-\lambda_{2} & 0 & 0\\
 +0 & 0 & 0\\
 +0 & 0 & \lambda_{3}-\lambda_{2}
 +\end{array}\right)$$
 +
 +и
 +
 +$$J_{A}-\lambda_{3}E=\left(\begin{array}{ccc}
 +\lambda_{1}-\lambda_{3} & 0 & 0\\
 +0 & \lambda_{2}-\lambda_{3} & 0\\
 +0 & 0 & 0
 +\end{array}\right)$$
 +
 +далее перемножим их:
 +
 +$$\left(J_{A}-\lambda_{2}E\right)\left(J_{A}-\lambda_{3}E\right)=\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}
 +1 & 0 & 0\\
 +0 & 0 & 0\\
 +0 & 0 & 0
 +\end{array}\right).$$
 +
 +В итоге получим замену $\lambda_{1}\mapsto f\left(\lambda_{1}\right)$
 +
 +$$f\left(\lambda_{1}\right)\frac{\left(J_{A}-\lambda_{2}E\right)\left(J_{A}-\lambda_{3}E\right)}{\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)}=f\left(\lambda_{1}\right)\prod_{i\neq1}\frac{\left(J_{A}-\lambda_{i}E\right)}{\left(\lambda_{1}-\lambda_{i}\right)}=\left(\begin{array}{ccc}
 +f\left(\lambda_{1}\right) & 0 & 0\\
 +0 & 0 & 0\\
 +0 & 0 & 0
 +\end{array}\right).$$
 +
 +Аналогично с остальными корнями:
 +
 +$$f\left(J_{A}\right)=f\left(\lambda_{1}\right)\frac{\left(J_{A}-\lambda_{2}E\right)\left(J_{A}-\lambda_{3}E\right)}{\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)}+f\left(\lambda_{2}\right)\frac{\left(J_{A}-\lambda_{1}E\right)\left(J_{A}-\lambda_{3}E\right)}{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}+$$
 +
 +$$f\left(\lambda_{3}\right)\frac{\left(J_{A}-\lambda_{1}E\right)\left(J_{A}-\lambda_{2}E\right)}{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)}=\left(\begin{array}{ccc}
 +f\left(\lambda_{1}\right) & 0 & 0\\
 +0 & f\left(\lambda_{2}\right) & 0\\
 +0 & 0 & f\left(\lambda_{3}\right)
 +\end{array}\right).$$
 +
 +Домножая на матрицы преобразования перейдём к матрице $A=TJ_{A}T^{-1}$
 +и используя сокращение получим формулу
 +
 +$$f\left(A\right)=\sum_{k=1}^{3}f\left(\lambda_{k}\right)\prod_{i\neq k}\frac{\left(A-\lambda_{i}E\right)}{\left(\lambda_{k}-\lambda_{i}\right)}=\left(\begin{array}{ccc}
 +f\left(\lambda_{1}\right) & 0 & 0\\
 +0 & f\left(\lambda_{2}\right) & 0\\
 +0 & 0 & f\left(\lambda_{3}\right)
 +\end{array}\right).$$
 +
 +Так же как и раньше равенство можно записать через нулевой определитель:
 +
 +$$\left|\begin{array}{cccc}
 +E & A & A^{2} & f\left(A\right)\\
 +1 & \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & f\left(\lambda_{1}\right)\\
 +1 & \lambda_{2} & \lambda_{2}^{2} & f\left(\lambda_{2}\right)\\
 +1 & \lambda_{3} & \lambda_{3}^{2} & f\left(\lambda_{3}\right)
 +\end{array}\right|=0.$$
 +
 +Если корень вырожден $\lambda_{2}=\lambda_{1},$ то как и раньше это
 +приводит к дифференцированию строки: 
 +
 +$$\left|\begin{array}{cccc}
 +E & A & A^{2} & f\left(A\right)\\
 +1 & \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & f\left(\lambda_{1}\right)\\
 +0 & 1 & 2\lambda_{1} & f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right)\\
 +1 & \lambda_{3} & \lambda_{3}^{2} & f\left(\lambda_{3}\right)
 +\end{array}\right|=0.$$
 +
 +Если корень трижды вырожден $\lambda_{3}=\lambda_{2}=\lambda_{1},$
 +то дифференцируем уже следующую строку дважды:
 +
 +$$\left|\begin{array}{cccc}
 +E & A & A^{2} & f\left(A\right)\\
 +1 & \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & f\left(\lambda_{1}\right)\\
 +0 & 1 & 2\lambda_{1} & f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right)\\
 +0 & 0 & 2 & f^{(2)}\left(\lambda_{1}\right)
 +\end{array}\right|=0.$$
 +
 +Остался последний переход от функции от матрицы $A$, к функции от
 +параметра $tA.$ Так как при умножении матрицы $A$ на параметр $t$
 +каждый элемент матрицы умножается на этот параметр $a_{ij}\mapsto t\cdot a_{ij},$
 +то и все собственные числа так же умножатся на этот параметр $\lambda_{i}\mapsto t\cdot\lambda_{i}$,
 +тогда, например, для функции от матрицы третьего порядка $A$ перейдём
 +к записи
 +
 +$$0=\left|\begin{array}{cccc}
 +E & tA & t^{2}A^{2} & f\left(tA\right)\\
 +1 & t\lambda_{1} & t^{2}\lambda_{1}^{2} & f\left(t\lambda_{1}\right)\\
 +1 & t\lambda_{2} & t^{2}\lambda_{2}^{2} & f\left(t\lambda_{2}\right)\\
 +1 & t\lambda_{3} & t^{2}\lambda_{3}^{2} & f\left(t\lambda_{3}\right)
 +\end{array}\right|=t\cdot t^{2}\left|\begin{array}{cccc}
 +E & A & A^{2} & f\left(tA\right)\\
 +1 & \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & f\left(t\lambda_{1}\right)\\
 +1 & \lambda_{2} & \lambda_{2}^{2} & f\left(t\lambda_{2}\right)\\
 +1 & \lambda_{3} & \lambda_{3}^{2} & f\left(t\lambda_{3}\right)
 +\end{array}\right|.$$
 +
 +Где параметр $t$ и $t^{2}$ вынесли из соответствующих столбцов.
 +
 +Аналогично с матрицами, построенных на вырожденных собственных числах:
 +
 +$$0=\left|\begin{array}{cccc}
 +E & tA & t^{2}A^{2} & f\left(tA\right)\\
 +1 & t\lambda_{1} & t^{2}\lambda_{1}^{2} & f\left(t\lambda_{1}\right)\\
 +0 & 1 & 2t\lambda_{1} & f^{(1)}\left(t\lambda_{1}\right)\\
 +1 & t\lambda_{3} & t^{2}\lambda_{3}^{2} & f\left(t\lambda_{3}\right)
 +\end{array}\right|=
 +t\cdot t^{2}\left|\begin{array}{cccc}
 +E & A & A^{2} & f\left(tA\right)\\
 +1 & \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & f\left(t\lambda_{1}\right)\\
 +0 & t^{-1} & 2t^{-1}\lambda_{1} & f^{(1)}\left(t\lambda_{1}\right)\\
 +1 & \lambda_{3} & \lambda_{3}^{2} & f\left(t\lambda_{3}\right)
 +\end{array}\right|
 +$$
 +следовательно
 +$$
 +\left|\begin{array}{cccc}
 +E & A & A^{2} & f\left(tA\right)\\
 +1 & \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & f\left(t\lambda_{1}\right)\\
 +0 & 1 & 2\lambda_{1} & tf^{(1)}\left(t\lambda_{1}\right)\\
 +1 & \lambda_{3} & \lambda_{3}^{2} & f\left(t\lambda_{3}\right)
 +\end{array}\right|=0.$$