math:t2-04

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия		 Предыдущая версия
math:t2-04 [2022/03/22 19:38] – создано rootmath:t2-04 [2023/03/12 15:06] (текущий) – [Построение функции от матрицы без нахождения матрицы преобразования] root
Строка 1: Строка 1:
 +===== Функции от матриц =====
 +
 Функция $f$ от матрицы $A$, если она определена, то её можно найти Функция $f$ от матрицы $A$, если она определена, то её можно найти
-переходом к жордановой форме $J_{A}=T^{-1}AT$, тогда $f(A)=f(TJ_{A}T^{-1})=Tf(J_{A})T^{-1}$.+переходом к жордановой форме $J_{A}=T^{-1}AT$, тогда  
 +$$f(A)=f(TJ_{A}T^{-1})=Tf(J_{A})T^{-1}.$$
  
 Если матрица в жордановой форме разбивается на клетки Жордана: Если матрица в жордановой форме разбивается на клетки Жордана:
  
-$J_{A}=\left(\begin{array}{cccc}+$$J_{A}=\left(\begin{array}{cccc}
 J_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right) & 0 & \ldots & 0\\ J_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right) & 0 & \ldots & 0\\
 0 & J_{n_{2}}\left(\lambda_{2}\right) & \ldots & 0\\ 0 & J_{n_{2}}\left(\lambda_{2}\right) & \ldots & 0\\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
 0 & 0 & \ldots & J_{n_{k}}\left(\lambda_{k}\right) 0 & 0 & \ldots & J_{n_{k}}\left(\lambda_{k}\right)
-\end{array}\right)$, +\end{array}\right),$$ 
- +то функция разбивается на функции от каждой клетки: 
-то функция разбивается на функции от каждой клетки так, что+
  
-$f\left(J_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right)\right)=f\left(\begin{array}{ccccc}+$$f\left(J_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right)\right)=f\left(\begin{array}{ccccc}
 \lambda_{1} & 1 & 0 & \ldots & 0\\ \lambda_{1} & 1 & 0 & \ldots & 0\\
 0 & \lambda_{1} & 1 & \ldots & 0\\ 0 & \lambda_{1} & 1 & \ldots & 0\\
Строка 25: Строка 27:
 \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
 0 & 0 & 0 & \ldots & f(\lambda_{1}) 0 & 0 & 0 & \ldots & f(\lambda_{1})
-\end{array}\right)=F_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right)$+\end{array}\right)=F_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right)$$
  
 так, что так, что
  
-$f(J_{A})=f\left(\begin{array}{cccc}+$$f(J_{A})=f\left(\begin{array}{cccc}
 J_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right) & 0 & \ldots & 0\\ J_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right) & 0 & \ldots & 0\\
 0 & J_{n_{2}}\left(\lambda_{2}\right) & \ldots & 0\\ 0 & J_{n_{2}}\left(\lambda_{2}\right) & \ldots & 0\\
Строка 39: Строка 41:
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
 0 & 0 & \ldots & F_{n_{k}}\left(\lambda_{k}\right) 0 & 0 & \ldots & F_{n_{k}}\left(\lambda_{k}\right)
-\end{array}\right)$+\end{array}\right).$$
  
 Давайте в качестве рассмотрим простую функцию $f(x)=x^{4},$ тем более, Давайте в качестве рассмотрим простую функцию $f(x)=x^{4},$ тем более,
 что результат будет легко перепроверить. Рассмотрим матрицу  что результат будет легко перепроверить. Рассмотрим матрицу 
  
-$A=\left(\begin{array}{ccc}+$$A=\left(\begin{array}{ccc}
 6 & -5 & 2\\ 6 & -5 & 2\\
 5 & -5 & 3\\ 5 & -5 & 3\\
 6 & -9 & 6 6 & -9 & 6
-\end{array}\right).$+\end{array}\right).$$
  
 Её характеристический многочлен мы находили в предыдущей теме:  Её характеристический многочлен мы находили в предыдущей теме: 
-\[+$$
 f(\lambda)=\det\left(A-E\lambda\right)=\left|\begin{array}{ccc} f(\lambda)=\det\left(A-E\lambda\right)=\left|\begin{array}{ccc}
 6-\lambda & -5 & 2\\ 6-\lambda & -5 & 2\\
Строка 57: Строка 59:
 6 & -9 & 6-\lambda 6 & -9 & 6-\lambda
 \end{array}\right|=-\lambda^{3}+7\lambda^{2}-16\lambda+12. \end{array}\right|=-\lambda^{3}+7\lambda^{2}-16\lambda+12.
-\]+$$
  
 Корнями многочлена $-\lambda^{3}+7\lambda^{2}-16\lambda+12=0$ являются Корнями многочлена $-\lambda^{3}+7\lambda^{2}-16\lambda+12=0$ являются
Строка 65: Строка 67:
 для $\lambda=3$: для $\lambda=3$:
  
-$A-3\cdot E=A_{3}=\left(\begin{array}{ccc}+$$A-3\cdot E=A_{3}=\left(\begin{array}{ccc}
 3 & -5 & 2\\ 3 & -5 & 2\\
 5 & -8 & 3\\ 5 & -8 & 3\\
Строка 77: Строка 79:
 -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -1\\
 0 & 1 & -1 0 & 1 & -1
-\end{array}\right)\underset{\to}{(1)+3(2)}$+\end{array}\right)\underset{\to}{(1)+3(2)}$$
  
-$\left(\begin{array}{ccc}+$$\left(\begin{array}{ccc}
 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -1\\
 -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -1\\
Строка 89: Строка 91:
 1 & 0 & -1\\ 1 & 0 & -1\\
 0 & 1 & -1 0 & 1 & -1
-\end{array}\right)$+\end{array}\right)$$
  
 приходим к уравнениям: $x_{2}-x_{3}=0$ и $-x_{1}+x_{2}=0$ их решением приходим к уравнениям: $x_{2}-x_{3}=0$ и $-x_{1}+x_{2}=0$ их решением
-будет вектор $\vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{c}+будет вектор  
 +$$\vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{c}
 1\\ 1\\
 1\\ 1\\
 1 1
-\end{array}\right).$+\end{array}\right).$$
  
 Теперь найдем собственный вектор для $\lambda=2$: Теперь найдем собственный вектор для $\lambda=2$:
  
-$A-2\cdot E=A_{2}=\left(\begin{array}{ccc}+$$A-2\cdot E=A_{2}=\left(\begin{array}{ccc}
 4 & -5 & 2\\ 4 & -5 & 2\\
 5 & -7 & 3\\ 5 & -7 & 3\\
Строка 112: Строка 115:
 5 & -7 & 3\\ 5 & -7 & 3\\
 1 & -2 & 1 1 & -2 & 1
-\end{array}\right)\underset{\to}{(2)-5(3)}\left(\begin{array}{ccc}+\end{array}\right)\underset{\to}{(2)-5(3)} 
 +$$ 
 +$$ 
 +\left(\begin{array}{ccc}
 0 & 3 & -2\\ 0 & 3 & -2\\
 0 & 3 & -2\\ 0 & 3 & -2\\
Строка 119: Строка 125:
 0 & 3 & -2\\ 0 & 3 & -2\\
 3 & 0 & -1 3 & 0 & -1
-\end{array}\right)$+\end{array}\right)$$
  
 приходим к уравнениям: $3x_{2}-2x_{3}=0$ и $3x_{1}-x_{3}=0$ их решением приходим к уравнениям: $3x_{2}-2x_{3}=0$ и $3x_{1}-x_{3}=0$ их решением
-будет вектор $\vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{c}+будет вектор  
 +$$\vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{c}
 1\\ 1\\
 2\\ 2\\
 3 3
-\end{array}\right).$ В итоге размерность собственного пространства --- 1, а алгебраическая +\end{array}\right).$$  
-размерность --- 2, значит жорданова клетка будет $J(2)=\left(\begin{array}{cc}+В итоге размерность собственного пространства --- 1, а алгебраическая 
 +размерность --- 2, значит жорданова клетка будет  
 +$$J(2)=\left(\begin{array}{cc}
 2 & 1\\ 2 & 1\\
 0 & 2 0 & 2
-\end{array}\right).$ Для поиска матрицы перехода найдём базис образа $A_{3}:$+\end{array}\right).$$  
 +Для поиска матрицы перехода найдём базис образа $A_{3}:$
  
-$\left(\begin{array}{ccc}+$$\left(\begin{array}{ccc}
 3 & -5 & 2\\ 3 & -5 & 2\\
 5 & -8 & 3\\ 5 & -8 & 3\\
 6 & -9 & 3\\ 6 & -9 & 3\\
 +\hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 143: Строка 154:
 5 & 0 & 3\\ 5 & 0 & 3\\
 6 & 0 & 3\\ 6 & 0 & 3\\
 +\hline
 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1
-\end{array}\right)\underset{\to}{(1)-2(3)}\left(\begin{array}{ccc}+\end{array}\right)\underset{\to}{(1)-2(3)} 
 +$$ 
 +$$ 
 +\left(\begin{array}{ccc}
 -1 & 0 & 2\\ -1 & 0 & 2\\
 -1 & 0 & 3\\ -1 & 0 & 3\\
 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 3\\
 +\hline
 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 157: Строка 173:
 -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1\\
 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 3\\
 +\hline
 1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
 -2 & 1 & -3 -2 & 1 & -3
-\end{array}\right)$+\end{array}\right)$$
  
 Таким образом базис ядра как мы и находили раньше $(1,1,1)^{T},$ Таким образом базис ядра как мы и находили раньше $(1,1,1)^{T},$
 а базис образа $\left\langle (-1,-1,0)^{T},(0,1,3)^{T}\right\rangle .$ а базис образа $\left\langle (-1,-1,0)^{T},(0,1,3)^{T}\right\rangle .$
-Подействуем на вектор матрицей $A_{2}$+Подействуем на второй вектор матрицей $A_{2}$
  
-$\left(\begin{array}{ccc}+$$\left(\begin{array}{ccc}
 4 & -5 & 2\\ 4 & -5 & 2\\
 5 & -7 & 3\\ 5 & -7 & 3\\
Строка 178: Строка 195:
 2\\ 2\\
 3 3
-\end{array}\right)=\vec{v}_{2}$+\end{array}\right)=\vec{v}_{2}$$
  
 получили собственный вектор, тогда матрица перехода к новому базису:  получили собственный вектор, тогда матрица перехода к новому базису: 
  
-$T=\left(\begin{array}{ccc}+$$T=\left(\begin{array}{ccc}
 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\\
 2 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1\\
 3 & 3 & 1 3 & 3 & 1
-\end{array}\right)$+\end{array}\right)$$
  
 а жорданова форма: а жорданова форма:
  
-$J_{A}=T^{-1}AT=\left(\begin{array}{ccc}+$$J_{A}=T^{-1}AT=\left(\begin{array}{ccc}
 2 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 0\\
 0 & 2 & 0\\ 0 & 2 & 0\\
 0 & 0 & 3 0 & 0 & 3
-\end{array}\right)$.+\end{array}\right).$$
  
 Теперь найдём функцию от матрицы. Рассмотрим в качестве функции $f(x)=x^{4}$ Теперь найдём функцию от матрицы. Рассмотрим в качестве функции $f(x)=x^{4}$
 что бы можно было проверить результат обычным вычислением. Тогда что бы можно было проверить результат обычным вычислением. Тогда
  
-$A^{4}=f(A)=f(TJ_{A}T^{-1})=Tf(J_{A})T^{-1}=$+$$A^{4}=f(A)=f(TJ_{A}T^{-1})=Tf(J_{A})T^{-1}=$$
  
-$T\left(\begin{array}{ccc}+$$T\left(\begin{array}{ccc}
 f(2) & \frac{1}{1!}f'(2) & 0\\ f(2) & \frac{1}{1!}f'(2) & 0\\
 0 & f(2) & 0\\ 0 & f(2) & 0\\
Строка 209: Строка 226:
 0 & 2^{4} & 0\\ 0 & 2^{4} & 0\\
 0 & 0 & 3^{4} 0 & 0 & 3^{4}
-\end{array}\right)T^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}+\end{array}\right)T^{-1}= 
 +$$ 
 +$$ 
 +\left(\begin{array}{ccc}
 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\\
 2 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1\\
Строка 225: Строка 245:
 259 & -307 & 129\\ 259 & -307 & 129\\
 291 & -387 & 177 291 & -387 & 177
-\end{array}\right)$+\end{array}\right).$$
  
 Прямой проверкой можно убедиться, что  Прямой проверкой можно убедиться, что 
  
-$A^{2}=A\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}+$$A^{2}=A\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}
 23 & -23 & 9\\ 23 & -23 & 9\\
 23 & -27 & 13\\ 23 & -27 & 13\\
 27 & -39 & 21 27 & -39 & 21
-\end{array}\right)$+\end{array}\right)$$
  
 и  и 
  
-$A^{2}\cdot A^{2}=\left(\begin{array}{ccc}+$$A^{2}\cdot A^{2}=\left(\begin{array}{ccc}
 243 & -259 & 97\\ 243 & -259 & 97\\
 259 & -307 & 129\\ 259 & -307 & 129\\
 291 & -387 & 177 291 & -387 & 177
-\end{array}\right)$+\end{array}\right).$$ 
 + 
 +Теперь легко уже найти и матричную экспоненту --- $e^{A}$, действительно, 
 +теперь рассмотрим $f(x)=e^{x},$ тогда: 
 + 
 +$$e^{A}=f(A)=f(TJ_{A}T^{-1})=Tf(J_{A})T^{-1}=$$ 
 + 
 +$$T\left(\begin{array}{ccc} 
 +f(2) & \frac{1}{1!}f'(2) & 0\\ 
 +0 & f(2) & 0\\ 
 +0 & 0 & f(3) 
 +\end{array}\right)T^{-1}=T\left(\begin{array}{ccc} 
 +e^{2} & e^{2} & 0\\ 
 +0 & e^{2} & 0\\ 
 +0 & 0 & e^{3} 
 +\end{array}\right)T^{-1}= 
 +$$ 
 +$$ 
 +\left(\begin{array}{ccc} 
 +1 & 0 & 1\\ 
 +2 & 1 & 1\\ 
 +3 & 3 & 1 
 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 
 +e^{2} & e^{2} & 0\\ 
 +0 & e^{2} & 0\\ 
 +0 & 0 & e^{3} 
 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 
 +-2 & 3 & -1\\ 
 +1 & -2 & 1\\ 
 +3 & -3 & 1 
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 
 +3\,e^{3}-e^{2} & -3\,e^{3}+e^{2} & e^{3}\\ 
 +3\,e^{3}-e^{2} & -3\,e^{3} & e^{3}+e^{2}\\ 
 +3\,e^{3} & -3\,e^{3}-3\,e^{2} & e^{3}+3\,e^{2} 
 +\end{array}\right).$$ 
 + 
 +===== Построение функции от матрицы без нахождения матрицы преобразования ===== 
 + 
 +Рассмотрим функцию $f$ от матрицы второго порядка $A$. Её жорданова 
 +форма $$J_{A}=\left(\begin{array}{cc} 
 +\lambda_{1} & 0\\ 
 +0 & \lambda_{2} 
 +\end{array}\right).$$ 
 + 
 +Так как $$f\left(J_{A}\right)=\left(\begin{array}{cc} 
 +f\left(\lambda_{1}\right) & 0\\ 
 +0 & f\left(\lambda_{2}\right) 
 +\end{array}\right),$$ то надо найти такую процедуру что бы вместо собственного числа в 
 +матрице $J_{A}$ подставить формулу от собственного числа $\lambda_{i}\mapsto f\left(\lambda_{i}\right).$ 
 +Рассмотрим выражение 
 + 
 +$$J_{A}-\lambda_{1}E=\left(\begin{array}{cc} 
 +\lambda_{1}-\lambda_{1} & 0\\ 
 +0 & \lambda_{2}-\lambda_{1} 
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 
 +0 & 0\\ 
 +0 & \lambda_{2}-\lambda_{1} 
 +\end{array}\right)=(\lambda_{2}-\lambda_{1})\left(\begin{array}{cc} 
 +0 & 0\\ 
 +0 & 1 
 +\end{array}\right).$$ 
 + 
 +Теперь поместим в это место функцию: 
 + 
 +$$\frac{f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(J_{A}-\lambda_{1}E\right)=\frac{f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})\left(\begin{array}{cc} 
 +0 & 0\\ 
 +0 & 1 
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 
 +0 & 0\\ 
 +0 & f\left(\lambda_{2}\right) 
 +\end{array}\right).$$ 
 + 
 +Аналогично проделаем с первым собственным числом: 
 + 
 +$$\frac{f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left(J_{A}-\lambda_{2}E\right)=\frac{f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}(\lambda_{1}-\lambda_{2})\left(\begin{array}{cc} 
 +1 & 0\\ 
 +0 & 0 
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 
 +f\left(\lambda_{1}\right) & 0\\ 
 +0 & 0 
 +\end{array}\right).$$ 
 + 
 +Осталось сложить: 
 + 
 +$$f\left(J_{A}\right)=\left(\begin{array}{cc} 
 +f\left(\lambda_{1}\right) & 0\\ 
 +0 & f\left(\lambda_{2}\right) 
 +\end{array}\right)=\frac{f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left(J_{A}-\lambda_{2}E\right)+\frac{f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(J_{A}-\lambda_{1}E\right).$$ 
 + 
 +Восстановим теперь первоначальную матрицу, полученную при помощи преобразования 
 +$A=TJ_{A}T^{-1}:$ 
 + 
 +$$f\left(A\right)=f\left(TJ_{A}T^{-1}\right)=Tf\left(J_{A}\right)T^{-1}= 
 +$$ 
 +$$T\left(\frac{f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left(J_{A}-\lambda_{2}E\right)+\frac{f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(J_{A}-\lambda_{1}E\right)\right)T^{-1}=$$ 
 +$$\left(\frac{f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left(TJ_{A}T^{-1}-\lambda_{2}TET^{-1}\right)+\frac{f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(TJ_{A}T^{-1}-\lambda_{1}TET^{-1}\right)\right)=$$ 
 +$$\left(\frac{f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left(A-\lambda_{2}E\right)+\frac{f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(A-\lambda_{1}E\right)\right).$$ 
 + 
 +Это равенство можно записать в виде нулевого определителя для условной 
 +матрицы: 
 + 
 +$$\left|\begin{array}{ccc} 
 +E & A & f\left(A\right)\\ 
 +1 & \lambda_{1} & f\left(\lambda_{1}\right)\\ 
 +1 & \lambda_{2} & f\left(\lambda_{2}\right) 
 +\end{array}\right|=0,$$ 
 + 
 +где $E,A,f\left(A\right)$ не матрицы, а просто некоторые символы. 
 + 
 +Функция от матрицы определена, если функция определена на спектре, 
 +т.е. определена при $\lambda_{1},\lambda_{2}:$ $f\left(\lambda_{1}\right)$ 
 +и $f\left(\lambda_{2}\right).$ Если собственное значение вырождено, то $\lambda_{1}\to\lambda_{2}$ и 
 + 
 + 
 +$$f\left(A\right)=\frac{f\left(\lambda_{1}\right)-f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}A+\frac{\lambda_{1}f\left(\lambda_{2}\right)-\lambda_{2}f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}E=$$ 
 +$$ 
 +\frac{f\left(\lambda_{1}\right)-f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}A+\frac{\lambda_{1}f\left(\lambda_{2}\right)-\lambda_{2}f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}E\to$$ 
 +$$f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right)A+\left(f\left(\lambda_{1}\right)-\lambda_{1}f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right)\right)E$$ 
 + 
 +так, что 
 + 
 +$$f\left(A\right)=f\left(\lambda_{1}\right)+f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right)\left(A-\lambda_{1}E\right),$$ 
 +где 
 +$f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right)$ --- первая производная. 
 + 
 +Это равенство можно записать в виде нулевого определителя для условной 
 +матрицы: 
 + 
 +$$\left|\begin{array}{ccc} 
 +E & A & f\left(A\right)\\ 
 +1 & \lambda_{1} & f\left(\lambda_{1}\right)\\ 
 +0 & 1 & f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right) 
 +\end{array}\right|=0.$$ 
 + 
 +Примечательно, что результат получился общий --- как для случая жордановой 
 +клетки $$J_{A}=\left(\begin{array}{cc} 
 +\lambda_{1} & 0\\ 
 +0 & \lambda_{1} 
 +\end{array}\right),$$ так и для  
 +$$J_{A}=\left(\begin{array}{cc} 
 +\lambda_{1} & 1\\ 
 +0 & \lambda_{1} 
 +\end{array}\right).$$ 
 + 
 +Что бы понять как будет меняться функция рассмотрим матрицы третьего 
 +порядка $A$. Её жорданова форма $$J_{A}=\left(\begin{array}{ccc} 
 +\lambda_{1} & 0 & 0\\ 
 +0 & \lambda_{2} & 0\\ 
 +0 & 0 & \lambda_{3} 
 +\end{array}\right).$$  
 + 
 +Выделим сначала матрицу с первым элементом, для этого рассмотрим матрицы:  
 + 
 +$$J_{A}-\lambda_{2}E=\left(\begin{array}{ccc} 
 +\lambda_{1}-\lambda_{2} & 0 & 0\\ 
 +0 & 0 & 0\\ 
 +0 & 0 & \lambda_{3}-\lambda_{2} 
 +\end{array}\right)$$ 
 + 
 +и 
 + 
 +$$J_{A}-\lambda_{3}E=\left(\begin{array}{ccc} 
 +\lambda_{1}-\lambda_{3} & 0 & 0\\ 
 +0 & \lambda_{2}-\lambda_{3} & 0\\ 
 +0 & 0 & 0 
 +\end{array}\right)$$ 
 + 
 +далее перемножим их: 
 + 
 +$$\left(J_{A}-\lambda_{2}E\right)\left(J_{A}-\lambda_{3}E\right)=\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc} 
 +1 & 0 & 0\\ 
 +0 & 0 & 0\\ 
 +0 & 0 & 0 
 +\end{array}\right).$$ 
 + 
 +В итоге получим замену $\lambda_{1}\mapsto f\left(\lambda_{1}\right)$ 
 + 
 +$$f\left(\lambda_{1}\right)\frac{\left(J_{A}-\lambda_{2}E\right)\left(J_{A}-\lambda_{3}E\right)}{\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)}=f\left(\lambda_{1}\right)\prod_{i\neq1}\frac{\left(J_{A}-\lambda_{i}E\right)}{\left(\lambda_{1}-\lambda_{i}\right)}=\left(\begin{array}{ccc} 
 +f\left(\lambda_{1}\right) & 0 & 0\\ 
 +0 & 0 & 0\\ 
 +0 & 0 & 0 
 +\end{array}\right).$$ 
 + 
 +Аналогично с остальными корнями: 
 + 
 +$$f\left(J_{A}\right)=f\left(\lambda_{1}\right)\frac{\left(J_{A}-\lambda_{2}E\right)\left(J_{A}-\lambda_{3}E\right)}{\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)}+f\left(\lambda_{2}\right)\frac{\left(J_{A}-\lambda_{1}E\right)\left(J_{A}-\lambda_{3}E\right)}{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}+$$ 
 + 
 +$$f\left(\lambda_{3}\right)\frac{\left(J_{A}-\lambda_{1}E\right)\left(J_{A}-\lambda_{2}E\right)}{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)}=\left(\begin{array}{ccc} 
 +f\left(\lambda_{1}\right) & 0 & 0\\ 
 +0 & f\left(\lambda_{2}\right) & 0\\ 
 +0 & 0 & f\left(\lambda_{3}\right) 
 +\end{array}\right).$$ 
 + 
 +Домножая на матрицы преобразования перейдём к матрице $A=TJ_{A}T^{-1}$ 
 +и используя сокращение получим формулу 
 + 
 +$$f\left(A\right)=\sum_{k=1}^{3}f\left(\lambda_{k}\right)\prod_{i\neq k}\frac{\left(A-\lambda_{i}E\right)}{\left(\lambda_{k}-\lambda_{i}\right)}=\left(\begin{array}{ccc} 
 +f\left(\lambda_{1}\right) & 0 & 0\\ 
 +0 & f\left(\lambda_{2}\right) & 0\\ 
 +0 & 0 & f\left(\lambda_{3}\right) 
 +\end{array}\right).$$ 
 + 
 +Так же как и раньше равенство можно записать через нулевой определитель: 
 + 
 +$$\left|\begin{array}{cccc} 
 +E & A & A^{2} & f\left(A\right)\\ 
 +1 & \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & f\left(\lambda_{1}\right)\\ 
 +1 & \lambda_{2} & \lambda_{2}^{2} & f\left(\lambda_{2}\right)\\ 
 +1 & \lambda_{3} & \lambda_{3}^{2} & f\left(\lambda_{3}\right) 
 +\end{array}\right|=0.$$ 
 + 
 +Если корень вырожден $\lambda_{2}=\lambda_{1},$ то как и раньше это 
 +приводит к дифференцированию строки:  
 + 
 +$$\left|\begin{array}{cccc} 
 +E & A & A^{2} & f\left(A\right)\\ 
 +1 & \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & f\left(\lambda_{1}\right)\\ 
 +0 & 1 & 2\lambda_{1} & f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right)\\ 
 +1 & \lambda_{3} & \lambda_{3}^{2} & f\left(\lambda_{3}\right) 
 +\end{array}\right|=0.$$ 
 + 
 +Если корень трижды вырожден $\lambda_{3}=\lambda_{2}=\lambda_{1},$ 
 +то дифференцируем уже следующую строку дважды: 
 + 
 +$$\left|\begin{array}{cccc} 
 +E & A & A^{2} & f\left(A\right)\\ 
 +1 & \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & f\left(\lambda_{1}\right)\\ 
 +0 & 1 & 2\lambda_{1} & f^{(1)}\left(\lambda_{1}\right)\\ 
 +0 & 0 & 2 & f^{(2)}\left(\lambda_{1}\right) 
 +\end{array}\right|=0.$$ 
 + 
 +Остался последний переход от функции от матрицы $A$, к функции от 
 +параметра $tA.$ Так как при умножении матрицы $A$ на параметр $t$ 
 +каждый элемент матрицы умножается на этот параметр $a_{ij}\mapsto t\cdot a_{ij},$ 
 +то и все собственные числа так же умножатся на этот параметр $\lambda_{i}\mapsto t\cdot\lambda_{i}$, 
 +тогда, например, для функции от матрицы третьего порядка $A$ перейдём 
 +к записи 
 + 
 +$$0=\left|\begin{array}{cccc} 
 +E & tA & t^{2}A^{2} & f\left(tA\right)\\ 
 +1 & t\lambda_{1} & t^{2}\lambda_{1}^{2} & f\left(t\lambda_{1}\right)\\ 
 +1 & t\lambda_{2} & t^{2}\lambda_{2}^{2} & f\left(t\lambda_{2}\right)\\ 
 +1 & t\lambda_{3} & t^{2}\lambda_{3}^{2} & f\left(t\lambda_{3}\right) 
 +\end{array}\right|=t\cdot t^{2}\left|\begin{array}{cccc} 
 +E & A & A^{2} & f\left(tA\right)\\ 
 +1 & \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & f\left(t\lambda_{1}\right)\\ 
 +1 & \lambda_{2} & \lambda_{2}^{2} & f\left(t\lambda_{2}\right)\\ 
 +1 & \lambda_{3} & \lambda_{3}^{2} & f\left(t\lambda_{3}\right) 
 +\end{array}\right|.$$ 
 + 
 +Где параметр $t$ и $t^{2}$ вынесли из соответствующих столбцов. 
 + 
 +Аналогично с матрицами, построенных на вырожденных собственных числах: 
 + 
 +$$0=\left|\begin{array}{cccc} 
 +E & tA & t^{2}A^{2} & f\left(tA\right)\\ 
 +1 & t\lambda_{1} & t^{2}\lambda_{1}^{2} & f\left(t\lambda_{1}\right)\\ 
 +0 & 1 & 2t\lambda_{1} & f^{(1)}\left(t\lambda_{1}\right)\\ 
 +1 & t\lambda_{3} & t^{2}\lambda_{3}^{2} & f\left(t\lambda_{3}\right) 
 +\end{array}\right|= 
 +t\cdot t^{2}\left|\begin{array}{cccc} 
 +E & A & A^{2} & f\left(tA\right)\\ 
 +1 & \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & f\left(t\lambda_{1}\right)\\ 
 +0 & t^{-1} & 2t^{-1}\lambda_{1} & f^{(1)}\left(t\lambda_{1}\right)\\ 
 +1 & \lambda_{3} & \lambda_{3}^{2} & f\left(t\lambda_{3}\right) 
 +\end{array}\right| 
 +$$ 
 +следовательно 
 +$$ 
 +\left|\begin{array}{cccc} 
 +E & A & A^{2} & f\left(tA\right)\\ 
 +1 & \lambda_{1} & \lambda_{1}^{2} & f\left(t\lambda_{1}\right)\\ 
 +0 & 1 & 2\lambda_{1} & tf^{(1)}\left(t\lambda_{1}\right)\\ 
 +1 & \lambda_{3} & \lambda_{3}^{2} & f\left(t\lambda_{3}\right) 
 +\end{array}\right|=0.$$