math:t2-03

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
math:t2-03 [2022/03/22 16:58] – [Характеристический многочлен матрицы и оператора.] rootmath:t2-03 [2022/03/22 17:11] (текущий) – [Запись матрицы в новом базисе. Клетки Жордана.] root
Строка 143: Строка 143:
 $\lambda=0$ всё же должна быть $2=\dim V(0),$ так как общая размерность $\lambda=0$ всё же должна быть $2=\dim V(0),$ так как общая размерность
 пространства $3.$ Заметим, что для собственного подпространства и пространства $3.$ Заметим, что для собственного подпространства и
-корневого подпространства выполняется соотношение: $V^{\lambda}=\ker\left(A-\lambda E\right)\subseteq\ker\left(A-\lambda E\right)^{k}=V(\lambda),$+корневого подпространства выполняется соотношение:  
 +$$V^{\lambda}=\ker\left(A-\lambda E\right)\subseteq\ker\left(A-\lambda E\right)^{k}=V(\lambda),$$
 где $k$ --- кратность корня $\lambda.$ В нашем примере найдём образ где $k$ --- кратность корня $\lambda.$ В нашем примере найдём образ
-преобразования $A_{1}=\left.A-E\lambda\right|_{\lambda=1}=\left(\begin{array}{ccc}+преобразования  
 +$$A_{1}=\left.A-E\lambda\right|_{\lambda=1}=\left(\begin{array}{ccc}
 3 & -5 & 2\\ 3 & -5 & 2\\
 5 & -8 & 3\\ 5 & -8 & 3\\
 6 & -9 & 3 6 & -9 & 3
-\end{array}\right)$ для этого линейными преобразованиями найдём базис: +\end{array}\right)$$ 
- +для этого линейными преобразованиями найдём базис: 
-$\left(\begin{array}{ccc}+$$\left(\begin{array}{ccc}
 3 & -5 & 2\\ 3 & -5 & 2\\
 5 & -8 & 3\\ 5 & -8 & 3\\
Строка 171: Строка 173:
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 3 & 0 & -3 3 & 0 & -3
-\end{array}\right)$+\end{array}\right).$$
  
 Получили базис образа $\text{Im}A_{1}=\left\langle (0,1,3)^{T},(1,0,-3)^{T}\right\rangle .$ Получили базис образа $\text{Im}A_{1}=\left\langle (0,1,3)^{T},(1,0,-3)^{T}\right\rangle .$
Строка 178: Строка 180:
 При этом для любого вектора $\vec{v}\in\text{Im}A_{1}$ справедливо При этом для любого вектора $\vec{v}\in\text{Im}A_{1}$ справедливо
 $A_{0}^{2}\vec{v}=\vec{0},$ действительно $A_{0}^{2}\vec{v}=\vec{0},$ действительно
- +$$ 
-$\left(\begin{array}{ccc}+\left(\begin{array}{ccc}
 4 & -5 & 2\\ 4 & -5 & 2\\
 5 & -7 & 3\\ 5 & -7 & 3\\
Строка 199: Строка 201:
 0\\ 0\\
 0 0
-\end{array}\right),$+\end{array}\right),$$
  
-$\left(\begin{array}{ccc}+$$\left(\begin{array}{ccc}
 4 & -5 & 2\\ 4 & -5 & 2\\
 5 & -7 & 3\\ 5 & -7 & 3\\
Строка 221: Строка 223:
 0\\ 0\\
 0 0
-\end{array}\right).$+\end{array}\right).$$
  
 В качестве нового базиса выберем $(1,2,3)^{T}=A_{0}(0,1,3)^{T},(0,1,3)^{T}\in V(0)$ В качестве нового базиса выберем $(1,2,3)^{T}=A_{0}(0,1,3)^{T},(0,1,3)^{T}\in V(0)$
Строка 227: Строка 229:
 базису:  базису: 
  
-$T=\left(\begin{array}{ccc}+$$T=\left(\begin{array}{ccc}
 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\\
 2 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1\\
 3 & 3 & 1 3 & 3 & 1
-\end{array}\right)$ +\end{array}\right)$$
 и найдём преобразование $A'=T^{-1}AT$ в этом базисе. Для ускорения и найдём преобразование $A'=T^{-1}AT$ в этом базисе. Для ускорения
 присоединением матрицы найдём сразу произведение $T^{-1}A:$ присоединением матрицы найдём сразу произведение $T^{-1}A:$
  
-$\left(\begin{array}{ccc} +$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 
-1 & 0 & 1\\ +1 & 0 & 1 & 4 & -5 & 2 \\ 
-2 & 1 & 1\\ +2 & 1 & 1 & 5 & -7 & 3\\ 
-3 & 3 & 1 +3 & 3 & 1 & 6 & -9 & 4 
-\end{array}\begin{array}{ccc} +\end{array}\right)\underset{\to}{(2)-2(1)}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 
-4 & -5 & 2\\ +1 & 0 & 1 & 4 & -5 & 2\\ 
-5 & -7 & 3\\ +0 & 1 & -1 & -3 & 3 & -1\\ 
-6 & -9 & 4 +3 & 3 & 1 & 6 & -9 & 4 
-\end{array}\right)\underset{\to}{(2)-2(1)}\left(\begin{array}{ccc} +\end{array}\right)\underset{\to}{(3)-3(1)}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 
-1 & 0 & 1\\ +1 & 0 & 1 & 4 & -5 & 2\\ 
-0 & 1 & -1\\ +0 & 1 & -1 & -3 & 3 & -1\\ 
-3 & 3 & 1 +0 & 3 & -2 & -6 & 6 & -2 
-\end{array}\begin{array}{ccc} +\end{array}\right)\underset{\to}{(3)-3(2)}$$
-4 & -5 & 2\\ +
--3 & 3 & -1\\ +
-6 & -9 & 4 +
-\end{array}\right)\underset{\to}{(3)-3(1)}\left(\begin{array}{ccc} +
-1 & 0 & 1\\ +
-0 & 1 & -1\\ +
-0 & 3 & -2 +
-\end{array}\begin{array}{ccc} +
-4 & -5 & 2\\ +
--3 & 3 & -1\\ +
--6 & 6 & -2 +
-\end{array}\right)\underset{\to}{(3)-3(2)}$+
  
-$\left(\begin{array}{ccc} +$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 
-1 & 0 & 1\\ +1 & 0 & 1 & 4 & -5 & 2\\ 
-0 & 1 & -1\\ +0 & 1 & -1 & -3 & 3 & -1\\ 
-0 & 0 & 1 +0 & 0 & 1 & 3 & -3 & 1 
-\end{array}\begin{array}{ccc} +\end{array}\right)\underset{\to}{(2)+(3)}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 
-4 & -5 & 2\\ +1 & 0 & 1 & 4 & -5 & 2\\ 
--3 & 3 & -1\\ +0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 
-3 & -3 & 1 +0 & 0 & 1 & 3 & -3 & 1 
-\end{array}\right)\underset{\to}{(2)+(3)}\left(\begin{array}{ccc} +\end{array}\right)\underset{\to}{(1)-(3)}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 
-1 & 0 & 1\\ +1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1\\ 
-0 & 1 & 0\\ +0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 
-0 & 0 & 1 +0 & 0 & 1 & 3 & -3 & 1  
-\end{array}\begin{array}{ccc} +\end{array}\right),$$
-4 & -5 & 2\\ +
-0 & 0 & 0\\ +
-3 & -3 & 1 +
-\end{array}\right)\underset{\to}{(1)-(3)}\left(\begin{array}{ccc} +
-1 & 0 & 0\\ +
-0 & 1 & 0\\ +
-0 & 0 & 1 +
-\end{array}\begin{array}{ccc} +
-1 & -2 & 1\\ +
-0 & 0 & 0\\ +
-3 & -3 & 1 +
-\end{array}\right)$+
  
-следовательно+следовательно,
  
-$T^{-1}A=\left(\begin{array}{ccc}+$$T^{-1}A=\left(\begin{array}{ccc}
 1 & -2 & 1\\ 1 & -2 & 1\\
 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\
 3 & -3 & 1 3 & -3 & 1
-\end{array}\right)$+\end{array}\right).$$
  
 Окончательно получим: Окончательно получим:
  
-$A'=T^{-1}AT=\left(\begin{array}{ccc}+$$A'=T^{-1}AT=\left(\begin{array}{ccc}
 1 & -2 & 1\\ 1 & -2 & 1\\
 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\
Строка 314: Строка 291:
 0 & \lambda_{0} & 0\\ 0 & \lambda_{0} & 0\\
 0 & 0 & \lambda_{1} 0 & 0 & \lambda_{1}
-\end{array}\right)$, +\end{array}\right),$$
 где просто переобозначили, что $0=\lambda_{0},$ а $1=\lambda_{1}.$ где просто переобозначили, что $0=\lambda_{0},$ а $1=\lambda_{1}.$
  
-В новом базисе матрица преобразования \guillemotleft распалась\guillemotright{}+В новом базисе матрица преобразования <<распалась>>
 на клетки Жордана. Одна клетка двумерная: на клетки Жордана. Одна клетка двумерная:
  
-$\left(\begin{array}{cc}+$$\left(\begin{array}{cc}
 \lambda_{0} & 1\\ \lambda_{0} & 1\\
 0 & \lambda_{0} 0 & \lambda_{0}
Строка 327: Строка 303:
 0 & 1\\ 0 & 1\\
 0 & 0 0 & 0
-\end{array}\right)$,+\end{array}\right),$$
  
 вторая одномерная --- $\lambda_{1}=1.$  вторая одномерная --- $\lambda_{1}=1.$