math:t2-03

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
math:t2-03 [2022/03/19 08:24] – [Характеристический многочлен матрицы и оператора.] rootmath:t2-03 [2022/03/22 17:11] (текущий) – [Запись матрицы в новом базисе. Клетки Жордана.] root
Строка 137: Строка 137:
  
 Видим, что размерность $\dim\left(V^{1}\oplus V^{0}\right)=2\neq3$, следовательно, матрицу $A$ нельзя привести к диагональному виду. Видим, что размерность $\dim\left(V^{1}\oplus V^{0}\right)=2\neq3$, следовательно, матрицу $A$ нельзя привести к диагональному виду.
 +
 +==== Запись матрицы в новом базисе. Клетки Жордана. ====
 +
 +Размерность корневого пространства $V(\lambda)$ связанного с корнем
 +$\lambda=0$ всё же должна быть $2=\dim V(0),$ так как общая размерность
 +пространства $3.$ Заметим, что для собственного подпространства и
 +корневого подпространства выполняется соотношение: 
 +$$V^{\lambda}=\ker\left(A-\lambda E\right)\subseteq\ker\left(A-\lambda E\right)^{k}=V(\lambda),$$
 +где $k$ --- кратность корня $\lambda.$ В нашем примере найдём образ
 +преобразования 
 +$$A_{1}=\left.A-E\lambda\right|_{\lambda=1}=\left(\begin{array}{ccc}
 +3 & -5 & 2\\
 +5 & -8 & 3\\
 +6 & -9 & 3
 +\end{array}\right)$$
 +для этого линейными преобразованиями найдём базис:
 +$$\left(\begin{array}{ccc}
 +3 & -5 & 2\\
 +5 & -8 & 3\\
 +6 & -9 & 3
 +\end{array}\right)\underset{\to}{(2)+(1)+(3)}\left(\begin{array}{ccc}
 +3 & 0 & 2\\
 +5 & 0 & 3\\
 +6 & 0 & 3
 +\end{array}\right)\underset{\to}{2(1)-3(3)}\left(\begin{array}{ccc}
 +0 & 0 & 2\\
 +1 & 0 & 3\\
 +3 & 0 & 3
 +\end{array}\right)\underset{\to}{(3)-3(1)}\left(\begin{array}{ccc}
 +0 & 0 & 2\\
 +1 & 0 & 0\\
 +3 & 0 & -6
 +\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
 +0 & 0 & 1\\
 +1 & 0 & 0\\
 +3 & 0 & -3
 +\end{array}\right).$$
 +
 +Получили базис образа $\text{Im}A_{1}=\left\langle (0,1,3)^{T},(1,0,-3)^{T}\right\rangle .$
 +Легко убедиться, что $V^{0}\subset\text{Im}A_{1},$ так имеется линейная
 +зависимость векторов $(1,2,3)^{T}=(1,0,-3)^{T}+2\cdot(0,1,3)^{T}.$
 +При этом для любого вектора $\vec{v}\in\text{Im}A_{1}$ справедливо
 +$A_{0}^{2}\vec{v}=\vec{0},$ действительно
 +$$
 +\left(\begin{array}{ccc}
 +4 & -5 & 2\\
 +5 & -7 & 3\\
 +6 & -9 & 4
 +\end{array}\right)^{2}\left(\begin{array}{c}
 +0\\
 +1\\
 +3
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
 +4 & -5 & 2\\
 +5 & -7 & 3\\
 +6 & -9 & 4
 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
 +1\\
 +2\\
 +3
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
 +0\\
 +0\\
 +0
 +\end{array}\right),$$
 +
 +$$\left(\begin{array}{ccc}
 +4 & -5 & 2\\
 +5 & -7 & 3\\
 +6 & -9 & 4
 +\end{array}\right)^{2}\left(\begin{array}{c}
 +1\\
 +0\\
 +-3
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
 +4 & -5 & 2\\
 +5 & -7 & 3\\
 +6 & -9 & 4
 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
 +-2\\
 +-4\\
 +-6
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
 +0\\
 +0\\
 +0
 +\end{array}\right).$$
 +
 +В качестве нового базиса выберем $(1,2,3)^{T}=A_{0}(0,1,3)^{T},(0,1,3)^{T}\in V(0)$
 +и $(1,1,1)^{T}\in V^{1}=V(1)$ и построим матрицу перехода к новому
 +базису: 
 +
 +$$T=\left(\begin{array}{ccc}
 +1 & 0 & 1\\
 +2 & 1 & 1\\
 +3 & 3 & 1
 +\end{array}\right)$$
 +и найдём преобразование $A'=T^{-1}AT$ в этом базисе. Для ускорения
 +присоединением матрицы найдём сразу произведение $T^{-1}A:$
 +
 +$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
 +1 & 0 & 1 & 4 & -5 & 2 \\
 +2 & 1 & 1 & 5 & -7 & 3\\
 +3 & 3 & 1 & 6 & -9 & 4
 +\end{array}\right)\underset{\to}{(2)-2(1)}\left(\begin{array}{ccc|ccc}
 +1 & 0 & 1 & 4 & -5 & 2\\
 +0 & 1 & -1 & -3 & 3 & -1\\
 +3 & 3 & 1 & 6 & -9 & 4
 +\end{array}\right)\underset{\to}{(3)-3(1)}\left(\begin{array}{ccc|ccc}
 +1 & 0 & 1 & 4 & -5 & 2\\
 +0 & 1 & -1 & -3 & 3 & -1\\
 +0 & 3 & -2 & -6 & 6 & -2
 +\end{array}\right)\underset{\to}{(3)-3(2)}$$
 +
 +$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
 +1 & 0 & 1 & 4 & -5 & 2\\
 +0 & 1 & -1 & -3 & 3 & -1\\
 +0 & 0 & 1 & 3 & -3 & 1
 +\end{array}\right)\underset{\to}{(2)+(3)}\left(\begin{array}{ccc|ccc}
 +1 & 0 & 1 & 4 & -5 & 2\\
 +0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
 +0 & 0 & 1 & 3 & -3 & 1
 +\end{array}\right)\underset{\to}{(1)-(3)}\left(\begin{array}{ccc|ccc}
 +1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1\\
 +0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
 +0 & 0 & 1 & 3 & -3 & 1 
 +\end{array}\right),$$
 +
 +следовательно,
 +
 +$$T^{-1}A=\left(\begin{array}{ccc}
 +1 & -2 & 1\\
 +0 & 0 & 0\\
 +3 & -3 & 1
 +\end{array}\right).$$
 +
 +Окончательно получим:
 +
 +$$A'=T^{-1}AT=\left(\begin{array}{ccc}
 +1 & -2 & 1\\
 +0 & 0 & 0\\
 +3 & -3 & 1
 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
 +1 & 0 & 1\\
 +2 & 1 & 1\\
 +3 & 3 & 1
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
 +0 & 1 & 0\\
 +0 & 0 & 0\\
 +0 & 0 & 1
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
 +\lambda_{0} & 1 & 0\\
 +0 & \lambda_{0} & 0\\
 +0 & 0 & \lambda_{1}
 +\end{array}\right),$$
 +где просто переобозначили, что $0=\lambda_{0},$ а $1=\lambda_{1}.$
 +
 +В новом базисе матрица преобразования <<распалась>>
 +на клетки Жордана. Одна клетка двумерная:
 +
 +$$\left(\begin{array}{cc}
 +\lambda_{0} & 1\\
 +0 & \lambda_{0}
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
 +0 & 1\\
 +0 & 0
 +\end{array}\right),$$
 +
 +вторая одномерная --- $\lambda_{1}=1.$