math:t2-03

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
math:t2-03 [2022/03/19 08:19] – [Собственные векторы и собственные значения.] rootmath:t2-03 [2022/03/22 17:11] (текущий) – [Запись матрицы в новом базисе. Клетки Жордана.] root
Строка 31: Строка 31:
 \det\left(A-E\lambda\right)=\left(-\lambda\right)^{n}+c_{1}\left(-\lambda\right)^{n-1}+\ldots+c_{n-1}\left(-\lambda\right)^{1}+c_{n} \det\left(A-E\lambda\right)=\left(-\lambda\right)^{n}+c_{1}\left(-\lambda\right)^{n-1}+\ldots+c_{n-1}\left(-\lambda\right)^{1}+c_{n}
 \] \]
 +где $c_{i}$ --- сумма **главных миноров** порядка $i$ матрицы $A.$
  
-где $c_{i}$ --- сумма главных миноров порядка $i$ матрицы $A.$ +В качестве **примера** найдём собственные числа и собственные векторы
- +
-В качестве примера найдём собственные числа и собственные векторы+
 линейного оператора, заданного матрицей  линейного оператора, заданного матрицей 
  
-$A=\left(\begin{array}{ccc}+$$A=\left(\begin{array}{ccc}
 4 & -5 & 2\\ 4 & -5 & 2\\
 5 & -7 & 3\\ 5 & -7 & 3\\
 6 & -9 & 4 6 & -9 & 4
-\end{array}\right)$+\end{array}\right).$$
  
 Составим характеристический многочлен  Составим характеристический многочлен 
-\[+$$
 f(\lambda)=\det\left(A-E\lambda\right)=\left|\begin{array}{ccc} f(\lambda)=\det\left(A-E\lambda\right)=\left|\begin{array}{ccc}
 4-\lambda & -5 & 2\\ 4-\lambda & -5 & 2\\
Строка 50: Строка 49:
 6 & -9 & 4-\lambda 6 & -9 & 4-\lambda
 \end{array}\right|=\left(-\lambda\right)^{3}+\left(4-7+4\right)\left(-\lambda\right)^{2}+ \end{array}\right|=\left(-\lambda\right)^{3}+\left(4-7+4\right)\left(-\lambda\right)^{2}+
-\]+$$
  
-\[+$$
 \left(\left|\begin{array}{cc} \left(\left|\begin{array}{cc}
 -7 & 3\\ -7 & 3\\
Строка 66: Строка 65:
 5 & -7 & 3\\ 5 & -7 & 3\\
 6 & -9 & 4 6 & -9 & 4
-\end{array}\right|\left(-\lambda\right)^{0}=-\lambda^{3}+\lambda^{2}=0 +\end{array}\right|\left(-\lambda\right)^{0}=-\lambda^{3}+\lambda^{2}=0. 
-\]+$$
  
 Корнями многочлена $f(\lambda)$, следовательно и собственными числами Корнями многочлена $f(\lambda)$, следовательно и собственными числами
Строка 74: Строка 73:
 числам. Сначала для $\lambda=1$: числам. Сначала для $\lambda=1$:
  
-$A-E\lambda=\left(\begin{array}{ccc}+$$A-E\lambda=\left(\begin{array}{ccc}
 3 & -5 & 2\\ 3 & -5 & 2\\
 5 & -8 & 3\\ 5 & -8 & 3\\
Строка 93: Строка 92:
 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -1\\
 -1 & 1 & 0 -1 & 1 & 0
-\end{array}\right)$ +\end{array}\right)$$
 приходим к уравнениям: $x_{2}-x_{3}=0$ и $-x_{1}+x_{2}=0$ их решением приходим к уравнениям: $x_{2}-x_{3}=0$ и $-x_{1}+x_{2}=0$ их решением
-будет вектор $\vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{c}+будет вектор  
 +$$\vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{c}
 1\\ 1\\
 1\\ 1\\
 1 1
-\end{array}\right).$+\end{array}\right).$$
  
 Теперь найдем собственный вектор для $\lambda=0$: Теперь найдем собственный вектор для $\lambda=0$:
  
-$A-E\lambda=A=\left(\begin{array}{ccc}+$$A-E\lambda=A=\left(\begin{array}{ccc}
 4 & -5 & 2\\ 4 & -5 & 2\\
 5 & -7 & 3\\ 5 & -7 & 3\\
Строка 124: Строка 123:
 0 & 3 & -2\\ 0 & 3 & -2\\
 3 & 0 & -1 3 & 0 & -1
-\end{array}\right)$+\end{array}\right)$$
  
 приходим к уравнениям: $3x_{2}-2x_{3}=0$ и $3x_{1}-x_{3}=0$ их решением приходим к уравнениям: $3x_{2}-2x_{3}=0$ и $3x_{1}-x_{3}=0$ их решением
-будет вектор $\vec{v}_{0}=\left(\begin{array}{c}+будет вектор $$\vec{v}_{0}=\left(\begin{array}{c}
 1\\ 1\\
 2\\ 2\\
 3 3
-\end{array}\right).$+\end{array}\right).$$
  
 Находим собственные подпространства: Находим собственные подпространства:
  
-$V^{1}=\left\langle \vec{v}_{1}\right\rangle =\left\langle (1,1,1)^{T}\right\rangle ,V^{0}=\left\langle \vec{v}_{0}\right\rangle =\left\langle (1,2,3)^{T}\right\rangle $.+$$V^{1}=\left\langle \vec{v}_{1}\right\rangle =\left\langle (1,1,1)^{T}\right\rangle ,V^{0}=\left\langle \vec{v}_{0}\right\rangle =\left\langle (1,2,3)^{T}\right\rangle .$$ 
 + 
 +Видим, что размерность $\dim\left(V^{1}\oplus V^{0}\right)=2\neq3$, следовательно, матрицу $A$ нельзя привести к диагональному виду. 
 + 
 +==== Запись матрицы в новом базисе. Клетки Жордана. ==== 
 + 
 +Размерность корневого пространства $V(\lambda)$ связанного с корнем 
 +$\lambda=0$ всё же должна быть $2=\dim V(0),$ так как общая размерность 
 +пространства $3.$ Заметим, что для собственного подпространства и 
 +корневого подпространства выполняется соотношение:  
 +$$V^{\lambda}=\ker\left(A-\lambda E\right)\subseteq\ker\left(A-\lambda E\right)^{k}=V(\lambda),$$ 
 +где $k$ --- кратность корня $\lambda.$ В нашем примере найдём образ 
 +преобразования  
 +$$A_{1}=\left.A-E\lambda\right|_{\lambda=1}=\left(\begin{array}{ccc} 
 +3 & -5 & 2\\ 
 +5 & -8 & 3\\ 
 +6 & -9 & 3 
 +\end{array}\right)$$ 
 +для этого линейными преобразованиями найдём базис: 
 +$$\left(\begin{array}{ccc} 
 +3 & -5 & 2\\ 
 +5 & -8 & 3\\ 
 +6 & -9 & 3 
 +\end{array}\right)\underset{\to}{(2)+(1)+(3)}\left(\begin{array}{ccc} 
 +3 & 0 & 2\\ 
 +5 & 0 & 3\\ 
 +6 & 0 & 3 
 +\end{array}\right)\underset{\to}{2(1)-3(3)}\left(\begin{array}{ccc} 
 +0 & 0 & 2\\ 
 +1 & 0 & 3\\ 
 +3 & 0 & 3 
 +\end{array}\right)\underset{\to}{(3)-3(1)}\left(\begin{array}{ccc} 
 +0 & 0 & 2\\ 
 +1 & 0 & 0\\ 
 +3 & 0 & -6 
 +\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 
 +0 & 0 & 1\\ 
 +1 & 0 & 0\\ 
 +3 & 0 & -3 
 +\end{array}\right).$$ 
 + 
 +Получили базис образа $\text{Im}A_{1}=\left\langle (0,1,3)^{T},(1,0,-3)^{T}\right\rangle .$ 
 +Легко убедиться, что $V^{0}\subset\text{Im}A_{1},$ так имеется линейная 
 +зависимость векторов $(1,2,3)^{T}=(1,0,-3)^{T}+2\cdot(0,1,3)^{T}.$ 
 +При этом для любого вектора $\vec{v}\in\text{Im}A_{1}$ справедливо 
 +$A_{0}^{2}\vec{v}=\vec{0},$ действительно 
 +$$ 
 +\left(\begin{array}{ccc} 
 +4 & -5 & 2\\ 
 +5 & -7 & 3\\ 
 +6 & -9 & 4 
 +\end{array}\right)^{2}\left(\begin{array}{c} 
 +0\\ 
 +1\\ 
 +3 
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 
 +4 & -5 & 2\\ 
 +5 & -7 & 3\\ 
 +6 & -9 & 4 
 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 
 +1\\ 
 +2\\ 
 +3 
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 
 +0\\ 
 +0\\ 
 +0 
 +\end{array}\right),$$ 
 + 
 +$$\left(\begin{array}{ccc} 
 +4 & -5 & 2\\ 
 +5 & -7 & 3\\ 
 +6 & -9 & 4 
 +\end{array}\right)^{2}\left(\begin{array}{c} 
 +1\\ 
 +0\\ 
 +-3 
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 
 +4 & -5 & 2\\ 
 +5 & -7 & 3\\ 
 +6 & -9 & 4 
 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 
 +-2\\ 
 +-4\\ 
 +-6 
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 
 +0\\ 
 +0\\ 
 +0 
 +\end{array}\right).$$ 
 + 
 +В качестве нового базиса выберем $(1,2,3)^{T}=A_{0}(0,1,3)^{T},(0,1,3)^{T}\in V(0)$ 
 +и $(1,1,1)^{T}\in V^{1}=V(1)$ и построим матрицу перехода к новому 
 +базису:  
 + 
 +$$T=\left(\begin{array}{ccc} 
 +1 & 0 & 1\\ 
 +2 & 1 & 1\\ 
 +3 & 3 & 1 
 +\end{array}\right)$$ 
 +и найдём преобразование $A'=T^{-1}AT$ в этом базисе. Для ускорения 
 +присоединением матрицы найдём сразу произведение $T^{-1}A:$ 
 + 
 +$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 
 +1 & 0 & 1 & 4 & -5 & 2 \\ 
 +2 & 1 & 1 & 5 & -7 & 3\\ 
 +3 & 3 & 1 & 6 & -9 & 4 
 +\end{array}\right)\underset{\to}{(2)-2(1)}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 
 +1 & 0 & 1 & 4 & -5 & 2\\ 
 +0 & 1 & -1 & -3 & 3 & -1\\ 
 +3 & 3 & 1 & 6 & -9 & 4 
 +\end{array}\right)\underset{\to}{(3)-3(1)}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 
 +1 & 0 & 1 & 4 & -5 & 2\\ 
 +0 & 1 & -1 & -3 & 3 & -1\\ 
 +0 & 3 & -2 & -6 & 6 & -2 
 +\end{array}\right)\underset{\to}{(3)-3(2)}$$ 
 + 
 +$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 
 +1 & 0 & 1 & 4 & -5 & 2\\ 
 +0 & 1 & -1 & -3 & 3 & -1\\ 
 +0 & 0 & 1 & 3 & -3 & 1 
 +\end{array}\right)\underset{\to}{(2)+(3)}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 
 +1 & 0 & 1 & 4 & -5 & 2\\ 
 +0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 
 +0 & 0 & 1 & 3 & -3 & 1 
 +\end{array}\right)\underset{\to}{(1)-(3)}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 
 +1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1\\ 
 +0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 
 +0 & 0 & 1 & 3 & -3 & 1  
 +\end{array}\right),$$ 
 + 
 +следовательно, 
 + 
 +$$T^{-1}A=\left(\begin{array}{ccc} 
 +1 & -2 & 1\\ 
 +0 & 0 & 0\\ 
 +3 & -3 & 1 
 +\end{array}\right).$$ 
 + 
 +Окончательно получим: 
 + 
 +$$A'=T^{-1}AT=\left(\begin{array}{ccc} 
 +1 & -2 & 1\\ 
 +0 & 0 & 0\\ 
 +3 & -3 & 1 
 +\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 
 +1 & 0 & 1\\ 
 +2 & 1 & 1\\ 
 +3 & 3 & 1 
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 
 +0 & 1 & 0\\ 
 +0 & 0 & 0\\ 
 +0 & 0 & 1 
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 
 +\lambda_{0} & 1 & 0\\ 
 +0 & \lambda_{0} & 0\\ 
 +0 & 0 & \lambda_{1} 
 +\end{array}\right),$$ 
 +где просто переобозначили, что $0=\lambda_{0},$ а $1=\lambda_{1}.$ 
 + 
 +В новом базисе матрица преобразования <<распалась>> 
 +на клетки Жордана. Одна клетка двумерная: 
 + 
 +$$\left(\begin{array}{cc} 
 +\lambda_{0} & 1\\ 
 +0 & \lambda_{0} 
 +\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 
 +0 & 1\\ 
 +0 & 0 
 +\end{array}\right),$$
  
-Видим, что размерность $\dim\left(V^{1}\oplus V^{0}\right)=2\neq3.$+вторая одномерная --- $\lambda_{1}=1.$