Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
| Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
| math:t2-02 [2022/03/14 17:27] – root | math:t2-02 [2022/03/22 16:50] (текущий) – root | ||
|---|---|---|---|
| Строка 20: | Строка 20: | ||
| векторов $X\in V$ которые отображаются в нулевой вектор: | векторов $X\in V$ которые отображаются в нулевой вектор: | ||
| $$\ker\varphi=\left\{ X\in V|\varphi(X)=0\right\} .$$ | $$\ker\varphi=\left\{ X\in V|\varphi(X)=0\right\} .$$ | ||
| - | Образом $$\text{Im}\varphi=\varphi\left(V\right)=\left\{ \varphi(X)|X\in V\right\} .$$ | + | Образом $$\text{Im}\ \varphi=\varphi\left(V\right)=\left\{ \varphi(X)|X\in V\right\} .$$ |
| + | |||
| + | **Возникает вопрос: | ||
| + | |||
| + | В качестве примера найдём ядро и образ для линейного преобразования | ||
| + | задаваемого матрицей: | ||
| + | |||
| + | $$A=\left(\begin{array}{cccc} | ||
| + | 2 & 1 & -1 & 1\\ | ||
| + | 3 & 0 & 1 & 2\\ | ||
| + | 0 & -3 & 5 & 1\\ | ||
| + | 5 & 1 & 0 & 3 | ||
| + | \end{array}\right).$$ | ||
| + | |||
| + | Для поиска расширим матрицу единичной, | ||
| + | линейными преобразованиями со столбцами приведём её к верхне-- (или | ||
| + | нижне--) треугольной: | ||
| + | |||
| + | $$\left(\begin{array}{cccc} | ||
| + | 2 & 1 & -1 & 1\\ | ||
| + | 3 & 0 & 1 & 2\\ | ||
| + | 0 & -3 & 5 & 1\\ | ||
| + | 5 & 1 & 0 & 3\\ | ||
| + | \hline | ||
| + | 1 & 0 & 0 & 0\\ | ||
| + | 0 & 1 & 0 & 0\\ | ||
| + | 0 & 0 & 1 & 0\\ | ||
| + | 0 & 0 & 0 & 1 | ||
| + | \end{array}\right)\underset{\rightarrow}{(2)+(3)}\left(\begin{array}{cccc} | ||
| + | 2 & 1 & 0 & 1\\ | ||
| + | 3 & 0 & 1 & 2\\ | ||
| + | 0 & -3 & 2 & 1\\ | ||
| + | 5 & 1 & 1 & 3\\ | ||
| + | \hline | ||
| + | 1 & 0 & 0 & 0\\ | ||
| + | 0 & 1 & 1 & 0\\ | ||
| + | 0 & 0 & 1 & 0\\ | ||
| + | 0 & 0 & 0 & 1 | ||
| + | \end{array}\right)\underset{\rightarrow}{(4)-(2)}\left(\begin{array}{cccc} | ||
| + | 2 & 1 & 0 & 0\\ | ||
| + | 3 & 0 & 1 & 2\\ | ||
| + | 0 & -3 & 2 & 4\\ | ||
| + | 5 & 1 & 1 & 2\\ | ||
| + | \hline | ||
| + | 1 & 0 & 0 & 0\\ | ||
| + | 0 & 1 & 1 & -1\\ | ||
| + | 0 & 0 & 1 & 0\\ | ||
| + | 0 & 0 & 0 & 1 | ||
| + | \end{array}\right)\underset{\rightarrow}{(1)-2(2)}$$ | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | \left(\begin{array}{cccc} | ||
| + | 0 & 1 & 0 & 0\\ | ||
| + | 3 & 0 & 1 & 2\\ | ||
| + | 6 & -3 & 2 & 4\\ | ||
| + | 3 & 1 & 1 & 2\\ | ||
| + | \hline | ||
| + | 1 & 0 & 0 & 0\\ | ||
| + | -2 & 1 & 1 & -1\\ | ||
| + | 0 & 0 & 1 & 0\\ | ||
| + | 0 & 0 & 0 & 1 | ||
| + | \end{array}\right)\underset{\rightarrow}{(4)-2(3)} | ||
| + | \left(\begin{array}{cccc} | ||
| + | 0 & 1 & 0 & 0\\ | ||
| + | 3 & 0 & 1 & 0\\ | ||
| + | 6 & -3 & 2 & 0\\ | ||
| + | 3 & 1 & 1 & 0\\ | ||
| + | \hline | ||
| + | 1 & 0 & 0 & 0\\ | ||
| + | -2 & 1 & 1 & -3\\ | ||
| + | 0 & 0 & 1 & -2\\ | ||
| + | 0 & 0 & 0 & 1 | ||
| + | \end{array}\right)\underset{\rightarrow}{(1)-3(3)}\left(\begin{array}{cccc} | ||
| + | 0 & 1 & 0 & 0\\ | ||
| + | 0 & 0 & 1 & 0\\ | ||
| + | 0 & -3 & 2 & 0\\ | ||
| + | 0 & 1 & 1 & 0\\ | ||
| + | \hline | ||
| + | 1 & 0 & 0 & 0\\ | ||
| + | -5 & 1 & 1 & -3\\ | ||
| + | -3 & 0 & 1 & -2\\ | ||
| + | 0 & 0 & 0 & 1 | ||
| + | \end{array}\right)$$ | ||
| + | |||
| + | Видим, что первый и последний столбцы --- нулевые, | ||
| + | $$\left(\begin{array}{c} | ||
| + | 1\\ | ||
| + | -5\\ | ||
| + | -3\\ | ||
| + | 0 | ||
| + | \end{array}\right), | ||
| + | 0\\ | ||
| + | -3\\ | ||
| + | -2\\ | ||
| + | 1 | ||
| + | \end{array}\right)$$ | ||
| + | задают базис ядра, а оставшиеся ненулевые вектора | ||
| + | $$\left(\begin{array}{c} | ||
| + | 1\\ | ||
| + | 0\\ | ||
| + | -3\\ | ||
| + | 1 | ||
| + | \end{array}\right), | ||
| + | 0\\ | ||
| + | 1\\ | ||
| + | 2\\ | ||
| + | 1 | ||
| + | \end{array}\right)$$ | ||
| + | задают базис образа. Безусловно, | ||
| + | можно перейти и к другому базису. | ||