math:t2-02

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия		 Предыдущая версия
math:t2-02 [2022/03/14 17:27] – создано rootmath:t2-02 [2022/03/22 16:50] (текущий) – root
Строка 12: Строка 12:
 В матричном виде $Y=AX,$ причём в общем случае размерности $\dim V=n,\dim W=m,$ В матричном виде $Y=AX,$ причём в общем случае размерности $\dim V=n,\dim W=m,$
 тогда размерность матрицы будет $nm$, где $n$ -- строк, $m$ -- тогда размерность матрицы будет $nm$, где $n$ -- строк, $m$ --
-столбов. При переходе к новому базису $$\left(f_{1}',\ldots,f_{m}'\right)=\left(f_{1},\ldots,f_{m}\right)S,$$\left(e_{1}',\ldots,e_{n}'\right)=\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)T$$+столбов. При переходе к новому базису $$\left(f_{1}',\ldots,f_{m}'\right)=\left(f_{1},\ldots,f_{m}\right)S,\ \ \ \left(e_{1}',\ldots,e_{n}'\right)=\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)T$$
 матрица преобразования изменится так, что $SY'=ATX',$ умножая это матрица преобразования изменится так, что $SY'=ATX',$ умножая это
 равенство слева на $S^{-1}$ придём к $Y'=S^{-1}ATX',$ следовательно, равенство слева на $S^{-1}$ придём к $Y'=S^{-1}ATX',$ следовательно,
Строка 20: Строка 20:
 векторов $X\in V$ которые отображаются в нулевой вектор:  векторов $X\in V$ которые отображаются в нулевой вектор: 
 $$\ker\varphi=\left\{ X\in V|\varphi(X)=0\right\} .$$  $$\ker\varphi=\left\{ X\in V|\varphi(X)=0\right\} .$$ 
-Образом $$\text{Im}\varphi=\varphi\left(V\right)=\left\{ \varphi(X)|X\in V\right\} .$$+Образом $$\text{Im}\ \varphi=\varphi\left(V\right)=\left\{ \varphi(X)|X\in V\right\} .$$ 
 + 
 +**Возникает вопрос:** как найти базис образа и базис ядра линейного отображения? 
 + 
 +В качестве примера найдём ядро и образ для линейного преобразования 
 +задаваемого матрицей: 
 + 
 +$$A=\left(\begin{array}{cccc} 
 +2 & 1 & -1 & 1\\ 
 +3 & 0 & 1 & 2\\ 
 +0 & -3 & 5 & 1\\ 
 +5 & 1 & 0 & 3 
 +\end{array}\right).$$ 
 + 
 +Для поиска расширим матрицу единичной, приписывая её снизу, а далее 
 +линейными преобразованиями со столбцами приведём её к верхне-- (или 
 +нижне--) треугольной: 
 + 
 +$$\left(\begin{array}{cccc} 
 +2 & 1 & -1 & 1\\ 
 +3 & 0 & 1 & 2\\ 
 +0 & -3 & 5 & 1\\ 
 +5 & 1 & 0 & 3\\ 
 +\hline 
 +1 & 0 & 0 & 0\\ 
 +0 & 1 & 0 & 0\\ 
 +0 & 0 & 1 & 0\\ 
 +0 & 0 & 0 & 1 
 +\end{array}\right)\underset{\rightarrow}{(2)+(3)}\left(\begin{array}{cccc} 
 +2 & 1 & 0 & 1\\ 
 +3 & 0 & 1 & 2\\ 
 +0 & -3 & 2 & 1\\ 
 +5 & 1 & 1 & 3\\ 
 +\hline 
 +1 & 0 & 0 & 0\\ 
 +0 & 1 & 1 & 0\\ 
 +0 & 0 & 1 & 0\\ 
 +0 & 0 & 0 & 1 
 +\end{array}\right)\underset{\rightarrow}{(4)-(2)}\left(\begin{array}{cccc} 
 +2 & 1 & 0 & 0\\ 
 +3 & 0 & 1 & 2\\ 
 +0 & -3 & 2 & 4\\ 
 +5 & 1 & 1 & 2\\ 
 +\hline 
 +1 & 0 & 0 & 0\\ 
 +0 & 1 & 1 & -1\\ 
 +0 & 0 & 1 & 0\\ 
 +0 & 0 & 0 & 1 
 +\end{array}\right)\underset{\rightarrow}{(1)-2(2)}$$ 
 + 
 +$$ 
 +\left(\begin{array}{cccc} 
 +0 & 1 & 0 & 0\\ 
 +3 & 0 & 1 & 2\\ 
 +6 & -3 & 2 & 4\\ 
 +3 & 1 & 1 & 2\\ 
 +\hline 
 +1 & 0 & 0 & 0\\ 
 +-2 & 1 & 1 & -1\\ 
 +0 & 0 & 1 & 0\\ 
 +0 & 0 & 0 & 1 
 +\end{array}\right)\underset{\rightarrow}{(4)-2(3)} 
 +\left(\begin{array}{cccc} 
 +0 & 1 & 0 & 0\\ 
 +3 & 0 & 1 & 0\\ 
 +6 & -3 & 2 & 0\\ 
 +3 & 1 & 1 & 0\\ 
 +\hline 
 +1 & 0 & 0 & 0\\ 
 +-2 & 1 & 1 & -3\\ 
 +0 & 0 & 1 & -2\\ 
 +0 & 0 & 0 & 1 
 +\end{array}\right)\underset{\rightarrow}{(1)-3(3)}\left(\begin{array}{cccc} 
 +0 & 1 & 0 & 0\\ 
 +0 & 0 & 1 & 0\\ 
 +0 & -3 & 2 & 0\\ 
 +0 & 1 & 1 & 0\\ 
 +\hline 
 +1 & 0 & 0 & 0\\ 
 +-5 & 1 & 1 & -3\\ 
 +-3 & 0 & 1 & -2\\ 
 +0 & 0 & 0 & 1 
 +\end{array}\right)$$ 
 + 
 +Видим, что первый и последний столбцы --- нулевые, соответствующие им вектора из нижней матрицы 
 +$$\left(\begin{array}{c} 
 +1\\ 
 +-5\\ 
 +-3\\ 
 +0 
 +\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 
 +0\\ 
 +-3\\ 
 +-2\\ 
 +1 
 +\end{array}\right)$$ 
 +задают базис ядра, а оставшиеся ненулевые вектора 
 +$$\left(\begin{array}{c} 
 +1\\ 
 +0\\ 
 +-3\\ 
 +1 
 +\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 
 +0\\ 
 +1\\ 
 +2\\ 
 +1 
 +\end{array}\right)$$ 
 +задают базис образа. Безусловно, при помощи линейных преобразований, 
 +можно перейти и к другому базису.