Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math:gruop:lie:primer2 [2020/09/30 12:04] – создано root
+++ math:gruop:lie:primer2 [2020/10/01 10:00] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-Выпрямим оператор:
+===== Выпрямление оператора =====
+=== 1 проективное преобразование ===
-$X=x^{2}\partial_{x}+xy\partial_{y}$
+Выпрямим оператор
-Выпрямим оператор, тогда
+$$X=x^{2}\partial_{x}+xy\partial_{y}.$$
+Для нахождения первого инварианта решим уравнение
-$\frac{dx}{x^{2}}=\frac{dy}{xy},$ следовательно $\ln x=\int\frac{dx}{x}=\ln y+C=\int\frac{dy}{y},$
+$$\frac{dx}{x^{2}}=\frac{dy}{xy}.$$
+Проинтегрируем
+$$\ln x=\int\frac{dx}{x}=\ln y+C=\int\frac{dy}{y},$$
 тогда
+$$I=\ln C=\frac{x}{y}$$
+является инвариантом и выберем его в качестве новой переменной. Вторая переменная найдётся из уравнения
+$$-\frac{1}{x}=\int\frac{dx}{x^{2}}=\int\frac{dz}{1}=z$$
+$$-\frac{1}{\bar{z}}=\bar{x}=\frac{x}{1-ax}=\frac{-\frac{1}{z}}{1-a(-\frac{1}{z})}=-\frac{1}{z+a}$$
+тогда, действительно, $\bar{z}=z+a$ --- паралельный перенос по $z.$
-$I=\ln C=\frac{x}{y}$ --- инвариант и новая переменная, а вторая
+=== 2 группа Галилея ===
-переменная найдётся из уравнения
-$-\frac{1}{x}=\int\frac{dx}{x^{2}}=\int\frac{dz}{1}=z$
+Из [[primer1|примера 1]] для группы Галилея
-$-\frac{1}{\bar{z}}=\bar{x}=\frac{x}{1-ax}=\frac{-\frac{1}{z}}{1-a(-\frac{1}{z})}=-\frac{1}{z+a}$
+$$\bar{x}=x+ay, \ \ \bar{y}=y.$$
-тогда, действительно, $\bar{z}=z+a$ --- паралельный перенос по $z.$
+касательный вектор $\vec{\xi}$ с компонентами
+$\xi^{1}=y,$
+$\xi^{2}=0.$ Тогда
+$$
+X=y\partial_{x}.
+$$
+Раз в операторе нет производной по $y$, то эта переменная является как раз одним инвариантом $y=I$, тогда
+$$
+\frac{dx}{y}=\frac{dz}{1}.
+$$
+Но так как переменная y инвариант и не зависит от $a$, то легко проинтегрируем:
+$$
+\frac xy=z.
+$$
+Тогда, действительно в новых переменных $(z,I)=(z,y)$
+$$\bar z=z+a, \ \ \bar y=y$$
+а оператор
+$$
+X=\partial_{z}
+$$
+будет <<выпрямленным>>.