Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math:gruop:lie:primer1 [2020/09/29 08:05] – создано root
+++ math:gruop:lie:primer1 [2020/10/01 14:06] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-$\bar{x}=x+ay=f^{1}\left(x,y,a\right),$ $\bar{y}=y=f^{2}\left(x,y,a\right)$
+===== Найти касательный вектор и канонический параметр ====
+=== Рассмотрим преобразование Галилея ===
+$$\bar{x}=x+ay=f^{1}\left(x,y,a\right), \ \ \bar{y}=y=f^{2}\left(x,y,a\right).$$
 Тогда последовательно применяя два преобразования:
-$\bar{\bar{x}}=f^{1}\left(\bar{x},\bar{y},b\right)=f^{1}\left(f^{1}\left(x,y,a\right),f^{2}\left(x,y,a\right),b\right)=\bar{x}+b\bar{y}=x+ay+by=x+\left(a+b\right)y$
+$$\bar{\bar{x}}=f^{1}\left(\bar{x},\bar{y},b\right)=f^{1}\left(f^{1}\left(x,y,a\right),f^{2}\left(x,y,a\right),b\right)=\bar{x}+b\bar{y}=x+ay+by=x+\left(a+b\right)y,$$
-$\bar{\bar{y}}=f^{2}\left(\bar{x},\bar{y},b\right)=f^{2}\left(f^{1}\left(x,y,a\right),f^{2}\left(x,y,a\right),b\right)=\bar{y}=y$
+$$\bar{\bar{y}}=f^{2}\left(\bar{x},\bar{y},b\right)=f^{2}\left(f^{1}\left(x,y,a\right),f^{2}\left(x,y,a\right),b\right)=\bar{y}=y$$
-придём к тому, что $\varphi(a,b)=a+b$ и $\varphi(a,0)=a+0=a$
+придём к тому, что $\varphi(a,b)=a+b$ и $\varphi(a,0)=a+0=a$,
 т.е. параметр канонический.
 Далее вычислим касательный вектор $\vec{\xi}$ с компонентами
-$\xi^{1}=\left.\frac{\partial f^{1}}{\partial a}\right|_{a=0}=\left.\frac{\partial\left(x+ay\right)}{\partial a}\right|_{a=0}=\left.y\right|_{a=0}=y$
+$$\xi^{1}=\left.\frac{\partial f^{1}}{\partial a}\right|_{a=0}=\left.\frac{\partial\left(x+ay\right)}{\partial a}\right|_{a=0}=\left.y\right|_{a=0}=y,$$
-$\xi^{2}=\left.\frac{\partial f^{2}}{\partial a}\right|_{a=0}=\left.\frac{\partial y}{\partial a}\right|_{a=0}=0$
+$$\xi^{2}=\left.\frac{\partial f^{2}}{\partial a}\right|_{a=0}=\left.\frac{\partial y}{\partial a}\right|_{a=0}=0.$$
-Ещё пример
-$\bar{x}=a\left(x+y\ln a\right)=f^{1}\left(x,y,z,a\right),$ $\bar{y}=ay=f^{2}\left(x,y,z,a\right),$
+=== Ещё пример ===
-$\bar{z}=az=f^{3}\left(x,y,z,a\right)$
-последовательно применяя два преобразования:
+$$\bar{x}=a\left(x+y\ln a\right)=f^{1}\left(x,y,z,a\right), \ \ \bar{y}=ay=f^{2}\left(x,y,z,a\right), \ \ \bar{z}=az=f^{3}\left(x,y,z,a\right).$$
-$\bar{\bar{x}}=f^{1}\left(\bar{x},\bar{y},\bar{z},b\right)=f^{1}\left(f^{1}\left(x,y,z,a\right),f^{2}\left(x,y,z,a\right),f^{3}\left(x,y,z,a\right),b\right)=$
+Последовательно применяя два преобразования:
-$b\left(\bar{x}+\bar{y}\ln b\right)=b\left(a\left(x+y\ln a\right)+ay\ln b\right)=ba\left(x+y\ln ba\right)$
+$$\bar{\bar{x}}=f^{1}\left(\bar{x},\bar{y},\bar{z},b\right)=f^{1}\left(f^{1}\left(x,y,z,a\right),f^{2}\left(x,y,z,a\right),f^{3}\left(x,y,z,a\right),b\right)=$$
-$\bar{\bar{y}}=f^{2}\left(\bar{x},\bar{y},\bar{z},b\right)=f^{2}\left(f^{1}\left(x,y,z,a\right),f^{2}\left(x,y,z,a\right),f^{3}\left(x,y,z,a\right),b\right)=b\bar{y}=bay$
+$$b\left(\bar{x}+\bar{y}\ln b\right)=b\left(a\left(x+y\ln a\right)+ay\ln b\right)=ba\left(x+y\ln ba\right).$$
-$\bar{\bar{z}}=f^{3}\left(\bar{x},\bar{y},\bar{z},b\right)=f^{3}\left(f^{1}\left(x,y,z,a\right),f^{2}\left(x,y,z,a\right),f^{3}\left(x,y,z,a\right),b\right)=b\bar{z}=baz$
+$$\bar{\bar{y}}=f^{2}\left(\bar{x},\bar{y},\bar{z},b\right)=f^{2}\left(f^{1}\left(x,y,z,a\right),f^{2}\left(x,y,z,a\right),f^{3}\left(x,y,z,a\right),b\right)=b\bar{y}=bay,$$
+$$\bar{\bar{z}}=f^{3}\left(\bar{x},\bar{y},\bar{z},b\right)=f^{3}\left(f^{1}\left(x,y,z,a\right),f^{2}\left(x,y,z,a\right),f^{3}\left(x,y,z,a\right),b\right)=b\bar{z}=baz$$
 придём к тому, что $\varphi(a,b)=ab$ и $\varphi(a,1)=a1=a$, т.е.
@@ Строка 39: / Строка 42: @@
 пераметром и компонентами
-$\xi^{1}=\left.\frac{\partial f^{1}}{\partial a}\right|_{a=1}=\left.\frac{\partial\left(a\left(x+y\ln a\right)\right)}{\partial a}\right|_{a=1}=\left.\left(\left(x+y\ln a\right)+a\left(y\frac{1}{a}\right)\right)\right|_{a=1}=x+y$
+$$\xi^{1}=\left.\frac{\partial f^{1}}{\partial a}\right|_{a=1}=\left.\frac{\partial\left(a\left(x+y\ln a\right)\right)}{\partial a}\right|_{a=1}=\left.\left(\left(x+y\ln a\right)+a\left(y\frac{1}{a}\right)\right)\right|_{a=1}=x+y.$$
-$\xi^{2}=\left.\frac{\partial f^{2}}{\partial a}\right|_{a=1}=\left.\frac{\partial\left(ay\right)}{\partial a}\right|_{a=1}=y$
+$$\xi^{2}=\left.\frac{\partial f^{2}}{\partial a}\right|_{a=1}=\left.\frac{\partial\left(ay\right)}{\partial a}\right|_{a=1}=y,$$
-$\xi^{3}=\left.\frac{\partial f^{3}}{\partial a}\right|_{a=1}=\left.\frac{\partial\left(az\right)}{\partial a}\right|_{a=1}=z$
+$$\xi^{3}=\left.\frac{\partial f^{3}}{\partial a}\right|_{a=1}=\left.\frac{\partial\left(az\right)}{\partial a}\right|_{a=1}=z.$$
-Найдём ещё и канонический оператор:
+Найдём канонический параметр:
-$\bar{a}=\intop_{1}^{a}\frac{1}{A(a)}\ da$, где $A(a)=\left.\frac{\partial\varphi(a,b)}{\partial b}\right|_{b=1}=\left.\frac{ab}{\partial b}\right|_{b=1}=a,$
+$$\bar{a}=\intop_{1}^{a}\frac{1}{A(a)}\ da,$$
+где
+$$A(a)=\left.\frac{\partial\varphi(a,b)}{\partial b}\right|_{b=1}=\left.\frac{ab}{\partial b}\right|_{b=1}=a,$$
 тогда
+$$\bar{a}=\intop_{1}^{a}\frac{1}{a}\ da=\ln a,$$
-$\bar{a}=\intop_{1}^{a}\frac{1}{a}\ da=\ln a$
 следовательно с каноническим параметром преобразование запишется в
 виде:
-$\bar{x}=e^{a}\left(x+ya\right),\bar{y}=e^{a}y,\bar{z}=e^{a}z$
+$$\bar{x}=e^{a}\left(x+ya\right),\bar{y}=e^{a}y,\bar{z}=e^{a}z.$$