math:gruop:lie:primer-li

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия		 Предыдущая версия
math:gruop:lie:primer-li [2020/10/01 10:08] – создано rootmath:gruop:lie:primer-li [2020/10/01 10:28] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
 ===== Восстановление преобразования ===== ===== Восстановление преобразования =====
  
-Восстановим группу и выпрямим оператор: +Восстановим группу по оператору: 
- +$$X=x^{2}\partial_{x}+xy\partial_{y}.$$
-$X=x^{2}\partial_{x}+xy\partial_{y}$ +
 Тогда  Тогда 
- +$$\frac{d\bar{x}}{da}=\bar{x}^{2},$$ 
-$\frac{d\bar{x}}{da}=\bar{x}^{2}$ +$$\frac{d\bar{y}}{da}=\bar{x}\bar{y}.$$
- +
-$\frac{d\bar{y}}{da}=\bar{x}\bar{y}$ +
 При начальных условиях $\left.\bar{x}\right|_{a=0}=x,\left.\bar{y}\right|_{a=0}=y.$ При начальных условиях $\left.\bar{x}\right|_{a=0}=x,\left.\bar{y}\right|_{a=0}=y.$
- +$$-\frac{1}{\bar{x}}=\int\frac{d\bar{x}}{\bar{x}^{2}}=\int da=a+c,$$
-$-\frac{1}{\bar{x}}=\int\frac{d\bar{x}}{\bar{x}^{2}}=\int da=a+c$ +
 тогда тогда
- +$$\bar{x}=-\frac{1}{a+c} \ \ \text{ и } \ \ \left.\bar{x}\right|_{0}=\left.-\frac{1}{a+c}\right|_{0}=-\frac{1}{c}=x,$$
-$\bar{x}=-\frac{1}{a+c}$ и $\left.\bar{x}\right|_{0}=\left.-\frac{1}{a+c}\right|_{0}=-\frac{1}{c}=x$ +
 следовательно следовательно
- +$$\bar{x}=\frac{x}{1-ax}.$$ 
-$\bar{x}=\frac{x}{1-ax}$ +Теперь рассмотрим второе уравнение 
- +$$\frac{d\bar{y}}{da}=\bar{x}\bar{y}=\frac{x}{1-ax}\bar{y},$$
-$\frac{d\bar{y}}{da}=\bar{x}\bar{y}=\frac{x}{1-ax}\bar{y}$ +
 тогда тогда
- +$$\ln\bar{y}=\int\frac{d\bar{y}}{\bar{y}}=\int\frac{xda}{1-ax}=-\ln(1-ax)+c$$
-$\ln\bar{y}=\int\frac{d\bar{y}}{\bar{y}}=\int\frac{xda}{1-ax}=-\ln(1-ax)+c$ +
 и следовательно и следовательно
- +$$\bar{y}=\frac{C}{1-ax}$$ 
-$\bar{y}=\frac{C}{1-ax}$ при условии, что при $a=0$ выполнено $\bar{y}(0)=C=y$.+при условии, что при $a=0$ выполнено $\bar{y}(0)=C=y$.
 Итак  Итак 
 +$$\bar{y}=\frac{y}{1-ax}.$$
  
-$\bar{y}=\frac{y}{1-ax}$ 
- 
-Выпрямим оператор, тогда 
- 
-$\frac{dx}{x^{2}}=\frac{dy}{xy},$ следовательно $\ln x=\int\frac{dx}{x}=\ln y+C=\int\frac{dy}{y},$ 
-тогда 
- 
-$I=\ln C=\frac{x}{y}$ --- инвариант и новая переменная, а вторая 
-переменная найдётся из уравнения 
- 
-$-\frac{1}{x}=\int\frac{dx}{x^{2}}=\int\frac{dz}{1}=z$ 
- 
-$-\frac{1}{\bar{z}}=\bar{x}=\frac{x}{1-ax}=\frac{-\frac{1}{z}}{1-a(-\frac{1}{z})}=-\frac{1}{z+a}$ 
- 
-тогда, действительно, $\bar{z}=z+a$ --- паралельный перенос по $z.$