Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math:8.2 [2026/03/02 04:37] – root
+++ math:8.2 [2026/05/11 02:46] (текущий) – root
@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 **в)**
 $$ \begin{cases} 2x_1 + 5x_2 + x_3 + 3x_4 = 2, \\ 4x_1 + 6x_2 + 3x_3 + 5x_4 = 4, \\ 4x_1 + 14x_2 + x_3 + 7x_4 = 4, \\ 2x_1 - 3x_2 + 3x_3 + \lambda x_4 = 7; \end{cases} $$
+====== Исследование разрешимости систем с помощью альтернативы Фредгольма ======
+Даны две системы линейных уравнений, зависящие от параметра $\lambda$:
+**Система 3:**
+\[
+\begin{cases}
+(1+\lambda)x_1 + x_2 + x_3 = 1,\\
+x_1 + (1+\lambda)x_2 + x_3 = \lambda,\\
+x_1 + x_2 + (1+\lambda)x_3 = \lambda^2.
+\end{cases}
+\]
+**Система u:**
+\[
+\begin{cases}
+(1+\lambda)x_1 + x_2 + x_3 = \lambda^2 + 3\lambda,\\
+x_1 + (1+\lambda)x_2 + x_3 = \lambda^3 + 3\lambda^2,\\
+x_1 + x_2 + (1+\lambda)x_3 = \lambda^4 + 3\lambda^3.
+\end{cases}
+\]
+Матрица системы $A(\lambda)$ одинакова для обоих случаев:
+\[
+A(\lambda) = \begin{pmatrix}
++\lambda & 1 & 1\\
+& 1+\lambda & 1\\
+& 1 & 1+\lambda
+\end{pmatrix}
+= (1+\lambda)I + J,\quad J=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}.
+\]
+Собственные значения $A(\lambda)$: $\lambda+4$ (кратность 1) и $1+\lambda$ (кратность 2).
+Определитель $\det A(\lambda) = (\lambda+4)(1+\lambda)^2$.
+Таким образом, при $\lambda \neq -4,\,-1$ система имеет единственное решение.
+При $\lambda = -1$ и $\lambda = -4$ определитель равен нулю, и требуется исследовать разрешимость по альтернативе Фредгольма.
+---
+### 1. Система 3
+#### $\lambda = -1$
+$A = J$ (все единицы). Однородная система $Jx=0$: $x_1+x_2+x_3=0$.
+Решения однородной системы: любое $x$, ортогональное вектору $(1,1,1)$.
+Условие разрешимости неоднородной системы: $b$ должен быть ортогонален всем решениям однородной, т.е. $b$ коллинеарен $(1,1,1)$.
+При $\lambda=-1$: $b = (1,\,-1,\,1)$. Этот вектор не кратен $(1,1,1)$, так как компоненты не равны.
+Следовательно, **решений нет**.
+#### $\lambda = -4$
+$A = \begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{pmatrix}$.
+Однородная система: $Ax=0$ имеет одномерное пространство решений $\operatorname{span}\{(1,1,1)\}$ (проверяется подстановкой).
+Условие разрешимости: $(b,\,(1,1,1)) = 0$.
+При $\lambda=-4$: $b = (1,\,-4,\,16)$. Скалярное произведение: $1-4+16=13 \neq 0$.
+**Решений нет**.
+**Вывод для системы 3:**
+При $\lambda \neq -4,\,-1$ – единственное решение;
+При $\lambda = -1$ или $\lambda = -4$ – решений нет.
+---
+### 2. Система u
+#### $\lambda = -1$
+$A = J$. $b = (\lambda^2+3\lambda,\;\lambda^3+3\lambda^2,\;\lambda^4+3\lambda^3) = (-2,\;2,\;-2)$.
+Вектор $(-2,2,-2)$ не кратен $(1,1,1)$, следовательно, **решений нет**.
+#### $\lambda = -4$
+$A = \begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{pmatrix}$.
+$b = (16-12,\;-64+48,\;256-192) = (4,\;-16,\;64)$.
+Скалярное произведение с $(1,1,1)$: $4-16+64=52 \neq 0$.
+**Решений нет**.
+**Вывод для системы u:**
+При $\lambda \neq -4,\,-1$ – единственное решение;
+При $\lambda = -1$ или $\lambda = -4$ – решений нет.
+---
+Таким образом, обе системы разрешимы (и имеют единственное решение) для всех $\lambda$, кроме $\lambda = -1$ и $\lambda = -4$, при которых они несовместны.