| |
| math:751 [2026/02/15 14:13] – создано root | math:751 [2026/02/19 03:33] (текущий) – root |
|---|
| * Поворот: \(e_1=\left(\frac{1}{\sqrt5},-\frac{2}{\sqrt5}\right)\) (λ=5), \(e_2=\left(\frac{2}{\sqrt5},\frac{1}{\sqrt5}\right)\) (λ=0). Тогда \(x=\frac{X+2Y}{\sqrt5},\;y=\frac{-2X+Y}{\sqrt5}\). | * Поворот: \(e_1=\left(\frac{1}{\sqrt5},-\frac{2}{\sqrt5}\right)\) (λ=5), \(e_2=\left(\frac{2}{\sqrt5},\frac{1}{\sqrt5}\right)\) (λ=0). Тогда \(x=\frac{X+2Y}{\sqrt5},\;y=\frac{-2X+Y}{\sqrt5}\). |
| * После подстановки и выделения полного квадрата получаем вершину \((3,2)\) и каноническое уравнение \((Y')^2 = 4\sqrt2\,X'\)? Исправление: ранее получили \(Y'^2 = 4\sqrt2 X'\)? Пересчитаем: | * После подстановки и выделения полного квадрата получаем вершину \((3,2)\) и каноническое уравнение \((Y')^2 = 4\sqrt2\,X'\)? Исправление: ранее получили \(Y'^2 = 4\sqrt2 X'\)? Пересчитаем: |
| В новых координатах: \(x-2y = \sqrt5 Y\), линейная часть: \(4x-3y = 2\sqrt5 X - \sqrt5 Y\). Уравнение: \(5Y^2 + 2\sqrt5 X - \sqrt5 Y -7=0\). Выделяем полный квадрат по \(Y\): \(5(Y-\frac{1}{2\sqrt5})^2 = -2\sqrt5 X +7 + \frac{1}{4}\). Приводим к виду \((Y-\frac{1}{2\sqrt5})^2 = -\frac{2\sqrt5}{5}X + \frac{29}{20}\). После сдвига получаем \((Y')^2 = -\frac{2\sqrt5}{5}X'\) с вершиной в \(X'=0,\;Y'=0\). Можно упростить, но оставим так. | В новых координатах: \(x-2y = \sqrt5 Y\), линейная часть: \(4x-3y = 2\sqrt5 X - \sqrt5 Y\). Уравнение: \(5Y^2 + 2\sqrt5 X - \sqrt5 Y -7=0\). Выделяем полный квадрат по \(Y\): \(5(Y-\frac{1}{2\sqrt5})^2 = -2\sqrt5 X +7 + \frac{1}{4}\). Приводим к виду \((Y-\frac{1}{2\sqrt5})^2 = -\frac{2\sqrt5}{5}X + \frac{29}{20}\). После сдвига получаем \((Y')^2 = -\frac{2\sqrt5}{5}X'\) с вершиной в \(X'=0,\;Y'=0\). Можно упростить, но оставим так. |
| * Вершина: \(x=3,\;y=2\) (проверено подстановкой). Ось параболы направлена по \(e_2\) (вектор \((2,1)\)), директриса перпендикулярна. | * Вершина: \(x=3,\;y=2\) (проверено подстановкой). Ось параболы направлена по \(e_2\) (вектор \((2,1)\)), директриса перпендикулярна. |
| * Каноническое уравнение в системе с началом в вершине и осями \(e_2\) (ось симметрии) и \(e_1\): \((X')^2 = -\frac{2\sqrt5}{5}Y'\) или эквивалентно. | * Каноническое уравнение в системе с началом в вершине и осями \(e_2\) (ось симметрии) и \(e_1\): \((X')^2 = -\frac{2\sqrt5}{5}Y'\) или эквивалентно. |