math:6.12

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

math:6.12 [2026/02/25 18:18] – создано rootmath:6.12 [2026/02/25 18:19] (текущий) – [Решение] root
Строка 3: Строка 3:
 $$ a_1 = (5, 2, -3, 1),\quad a_2 = (4, 1, -2, 3),\quad a_3 = (1, 1, -1, -2),\quad a_4 = (3, 4, -1, 2),\quad a_5 = (7, -6, -7, 0). $$ $$ a_1 = (5, 2, -3, 1),\quad a_2 = (4, 1, -2, 3),\quad a_3 = (1, 1, -1, -2),\quad a_4 = (3, 4, -1, 2),\quad a_5 = (7, -6, -7, 0). $$
  
-==== Решение ==== 
-Составим матрицу из данных векторов (как строки) и приведём её к ступенчатому виду для определения ранга и базисных векторов. 
- 
-Расположим векторы в порядке, удобном для преобразований: сначала $a_3$, затем $a_4$, $a_2$, $a_5$, $a_1$ (но можно и по-другому). Получим матрицу: 
-$$ \begin{pmatrix} 
-1 & 1 & -1 & -2 \\ 
-3 & 4 & -1 & 2 \\ 
-4 & 1 & -2 & 3 \\ 
-7 & -6 & -7 & 0 \\ 
-5 & 2 & -3 & 1 
-\end{pmatrix}. $$ 
- 
-Выполним элементарные преобразования строк: 
-1. Из второй строки вычтем первую, умноженную на 3; из третьей – первую, умноженную на 4; из четвёртой – первую, умноженную на 7; из пятой – первую, умноженную на 5. После упрощения получим: 
-$$ \begin{pmatrix} 
-1 & 1 & -1 & -2 \\ 
-0 & 1 & 2 & 8 \\ 
-0 & -3 & 2 & 11 \\ 
-0 & -13 & 0 & 14 \\ 
-0 & -3 & 2 & 11 
-\end{pmatrix}. $$ 
-Третья и пятая строки оказались одинаковыми, поэтому одну из них (например, пятую) можно отбросить. Переставим строки для удобства: поставим вторую строку (с элементом 1 во втором столбце) на место второй, затем третью и четвёртую: 
-$$ \begin{pmatrix} 
-1 & 1 & -1 & -2 \\ 
-0 & 1 & 2 & 8 \\ 
-0 & -3 & 2 & 11 \\ 
-0 & -13 & 0 & 14 
-\end{pmatrix}. $$ 
- 
-2. К третьей строке прибавим вторую, умноженную на 3; к четвёртой прибавим вторую, умноженную на 13: 
-$$ \begin{pmatrix} 
-1 & 1 & -1 & -2 \\ 
-0 & 1 & 2 & 8 \\ 
-0 & 0 & 8 & 35 \\ 
-0 & 0 & 26 & 118 
-\end{pmatrix}. $$ 
- 
-3. Из четвёртой строки вычтем третью, умноженную на $\frac{26}{8} = \frac{13}{4}$, что даёт в четвёртой строке элемент $(0,0,0,\frac{17}{4})$, отличный от нуля. Таким образом, все четыре строки линейно независимы, и ранг системы равен 4. Следовательно, базис может состоять из любых четырёх линейно независимых векторов данной системы. В качестве базисных выберем векторы, соответствующие строкам, которые не обнулились в процессе: $a_3$, $a_4$, $a_2$, $a_5$. Они образуют базис. 
- 
-Теперь выразим оставшийся вектор $a_1$ через этот базис. Решим систему: 
-$$ a_1 = x a_3 + y a_4 + z a_2 + w a_5. $$ 
-В координатной форме: 
-\[ 
-\begin{cases} 
-x + 3y + 4z + 7w = 5, \\ 
-x + 4y + z - 6w = 2, \\ 
--x - y - 2z - 7w = -3, \\ 
--2x + 2y + 3z = 1. 
-\end{cases} 
-\] 
-Преобразуем третье уравнение, умножив на $-1$: $x + y + 2z + 7w = 3$. Решаем систему методом Гаусса. После приведения получаем $w = 0$, $z = 1$, $y = 0$, $x = 1$. Таким образом, 
-$$ a_1 = a_3 + a_2. $$ 
-Проверка: $a_2 + a_3 = (4+1,\;1+1,\;-2-1,\;3-2) = (5,2,-3,1)$ – верно. 
  
 ==== Ответ ==== ==== Ответ ====
 Базис системы векторов: $\{a_2, a_3, a_4, a_5\}$. Остальные векторы выражаются следующим образом: Базис системы векторов: $\{a_2, a_3, a_4, a_5\}$. Остальные векторы выражаются следующим образом:
 $$ a_1 = a_2 + a_3. $$ $$ a_1 = a_2 + a_3. $$