| Следующая версия | Предыдущая версия |
| math:6.10 [2026/02/25 18:14] – создано root | math:6.10 [2026/02/25 18:15] (текущий) – [Решение] root |
|---|
| |
| Рассмотрим все возможные пары: | Рассмотрим все возможные пары: |
| - $\{a_1, a_2\}$ — линейно независимы. | * $\{a_1, a_2\}$ — линейно независимы. |
| - $\{a_1, a_3\}$ — линейно зависимы, так как $a_3 = 3a_1$, поэтому не являются базисом. | * $\{a_1, a_3\}$ — линейно зависимы, так как $a_3 = 3a_1$, поэтому не являются базисом. |
| - $\{a_2, a_3\}$ — проверим независимость: пусть $\alpha a_2 + \beta a_3 = 0$. Тогда | * $\{a_2, a_3\}$ — проверим независимость: пусть $\alpha a_2 + \beta a_3 = 0$. Тогда |
| $$ \alpha(1,2,3,4) + \beta(3,6,0,0) = (\alpha+3\beta,\; 2\alpha+6\beta,\; 3\alpha,\; 4\alpha) = (0,0,0,0). $$ | $$ \alpha(1,2,3,4) + \beta(3,6,0,0) = (\alpha+3\beta,\; 2\alpha+6\beta,\; 3\alpha,\; 4\alpha) = (0,0,0,0). $$ |
| Из третьей координаты $3\alpha=0 \Rightarrow \alpha=0$, тогда первая $3\beta=0 \Rightarrow \beta=0$. Значит, $\{a_2, a_3\}$ линейно независимы. | Из третьей координаты $3\alpha=0 \Rightarrow \alpha=0$, тогда первая $3\beta=0 \Rightarrow \beta=0$. Значит, $\{a_2, a_3\}$ линейно независимы. |
| |
| Покажем, что $\{a_2, a_3\}$ порождают ту же линейную оболочку, что и $\{a_1, a_2\}$. Так как $a_3 = 3a_1$, то $a_1 = \frac{1}{3}a_3$, следовательно, любой вектор, выражающийся через $a_1$ и $a_2$, выражается и через $a_2$ и $a_3$. Таким образом, $\{a_2, a_3\}$ также является базисом. | Покажем, что $\{a_2, a_3\}$ порождают ту же линейную оболочку, что и $\{a_1, a_2\}$. Так как $a_3 = 3a_1$, то $a_1 = \frac{1}{3}a_3$, следовательно, любой вектор, выражающийся через $a_1$ и $a_2$, выражается и через $a_2$ и $a_3$. Таким образом, $\{a_2, a_3\}$ также является базисом. |