Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math:585 [2026/02/09 19:31] – создано root
+++ math:585 [2026/02/09 19:38] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-=== Условие задачи ===
+=== Условие задачи 585 ===
-) Написать уравнения общего перпендикуляра к двум прямым
+) Написать уравнения общего перпендикуляра к двум прямым:
 \[
-\frac{x-1}{8} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-3}{1}, \qquad
+\frac{x-1}{8} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-3}{1}, \quad \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-2} = \frac{z+1}{1}
-\frac{x-1}{2} = -\frac{y}{-2} = \frac{z+1}{1}
 \]
-и найти расстояние \( d \) между этими прямыми.
+и найти расстояние \( d \) между этими прямыми;
-) Найти точки пересечения общего перпендикуляра с данными прямыми.
+) найти точки пересечения общего перпендикуляра к данным прямым с этими прямыми.
 === Решение ===
 **1. Исходные данные**
-Первая прямая:
+Первая прямая: направляющий вектор \(\vec{s_1} = (8,4,1)\), точка \(A_1(1,2,3)\).
-Направляющий вектор \(\vec{s_1} = (8,4,1)\), точка \(A_1(1,2,3)\).
+Вторая прямая: направляющий вектор \(\vec{s_2} = (2,-2,1)\), точка \(A_2(1,0,-1)\).
-Вторая прямая (после упрощения второго отношения \(-\frac{y}{-2} = \frac{y}{2}\)):
+**2. Направляющий вектор общего перпендикуляра**
 \[
-\frac{x-1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{1}
+\vec{n} = \vec{s_1} \times \vec{s_2} = (8,4,1) \times (2,-2,1) = (6,-6,-24) \sim (1,-1,-4).
-\]
-Направляющий вектор \(\vec{s_2} = (2,2,1)\), точка \(A_2(1,0,-1)\).
-**2. Вектор, перпендикулярный обеим прямым**
-\[
-\vec{n} = \vec{s_1} \times \vec{s_2} =
-\begin{vmatrix}
-\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\
-& 4 & 1\\
-& 2 & 1
-\end{vmatrix} = (2,-6,8) \sim (1,-3,4).
 \]
-**3. Точки пересечения общего перпендикуляра с прямыми**
+**3. Расстояние между прямыми**
-Параметризуем точки на прямых:
+Смешанное произведение векторов \(\overrightarrow{A_1A_2}\), \(\vec{s_1}\), \(\vec{s_2}\):
 \[
-P_1 = A_1 + t_1 \vec{s_1} = (1+8t_1,\; 2+4t_1,\; 3+t_1),
+\overrightarrow{A_1A_2} = (0,-2,-4),
 \]
 \[
-P_2 = A_2 + t_2 \vec{s_2} = (1+2t_2,\; 2t_2,\; -1+t_2).
+\left| \begin{array}{ccc}
+& -2 & -4 \\
+& 4 & 1 \\
+& -2 & 1
+\end{array} \right| = 0\cdot(4\cdot1 - 1\cdot(-2)) - (-2)\cdot(8\cdot1 - 1\cdot2) + (-4)\cdot(8\cdot(-2) - 4\cdot2) = 2\cdot(8-2) -4\cdot(-16-8) = 12 + 96 = 108.
 \]
-Вектор \(\overrightarrow{P_1P_2}\) должен быть параллелен \(\vec{n}\), т.е.
+Модуль векторного произведения:
 \[
-\overrightarrow{P_1P_2} = (2t_2-8t_1,\; 2t_2-4t_1-2,\; t_2-t_1-4) = \lambda (1,-3,4).
+|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + (-24)^2} = \sqrt{36+36+576} = \sqrt{648} = 18\sqrt{2}.
 \]
-Получаем систему:
+Следовательно,
 \[
-\begin{cases}
+d = \frac{108}{18\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}.
-t_2 - 8t_1 = \lambda,\\
-t_2 - 4t_1 - 2 = -3\lambda,\\
-t_2 - t_1 - 4 = 4\lambda.
-\end{cases}
-\]
-Решение: \(t_1 = \dfrac{23}{26},\; t_2 = \dfrac{87}{26}\).
-Тогда
-\[
-P_1 = \left(1+8\cdot\frac{23}{26},\; 2+4\cdot\frac{23}{26},\; 3+\frac{23}{26}\right) = \left(\frac{105}{13},\; \frac{72}{13},\; \frac{101}{26}\right),
-\]
-\[
-P_2 = \left(1+2\cdot\frac{87}{26},\; 2\cdot\frac{87}{26},\; -1+\frac{87}{26}\right) = \left(\frac{100}{13},\; \frac{87}{13},\; \frac{61}{26}\right).
 \]
 **4. Уравнения общего перпендикуляра**
-Общий перпендикуляр проходит через \(P_1\) (или \(P_2\)) и имеет направляющий вектор \(\vec{n}=(1,-3,4)\). Канонические уравнения:
+Общий перпендикуляр задаётся как линия пересечения двух плоскостей:
+Плоскость, проходящая через первую прямую и параллельная \(\vec{n}\):
+Нормаль \(\vec{m_1} = \vec{s_1} \times \vec{n} = (5,-11,4)\), уравнение:
+\(5(x-1) - 11(y-2) + 4(z-3) = 0 \Rightarrow 5x - 11y + 4z + 5 = 0\).
+Плоскость, проходящая через вторую прямую и параллельная \(\vec{n}\):
+Нормаль \(\vec{m_2} = \vec{s_2} \times \vec{n} = (1,1,0)\), уравнение:
+\((x-1) + (y-0) = 0 \Rightarrow x + y - 1 = 0\).
+Таким образом, уравнения общего перпендикуляра:
 \[
-\boxed{\frac{x - \frac{105}{13}}{1} = \frac{y - \frac{72}{13}}{-3} = \frac{z - \frac{101}{26}}{4}}.
+\boxed{\begin{cases} 5x - 11y + 4z + 5 = 0, \\ x + y - 1 = 0. \end{cases}}
 \]
-**5. Расстояние между прямыми**
+**5. Точки пересечения общего перпендикуляра с прямыми**
+Параметризуем точки на прямых:
 \[
-d = |\overrightarrow{P_1P_2}| = \sqrt{\left(\frac{100}{13}-\frac{105}{13}\right)^2 + \left(\frac{87}{13}-\frac{72}{13}\right)^2 + \left(\frac{61}{26}-\frac{101}{26}\right)^2}
+P_1 = A_1 + t_1 \vec{s_1} = (1+8t_1,\; 2+4t_1,\; 3+t_1),
 \]
 \[
-\overrightarrow{P_1P_2} = \left(-\frac{5}{13},\; \frac{15}{13},\; -\frac{40}{26}\right) = \left(-\frac{5}{13},\; \frac{15}{13},\; -\frac{20}{13}\right),
+P_2 = A_2 + t_2 \vec{s_2} = (1+2t_2,\; -2t_2,\; -1+t_2).
 \]
+Вектор \(\overrightarrow{P_1P_2}\) должен быть параллелен \(\vec{n}\), что даёт систему:
 \[
-d = \sqrt{\frac{25}{169} + \frac{225}{169} + \frac{400}{169}} = \sqrt{\frac{650}{169}} = \frac{\sqrt{650}}{13} = \frac{5\sqrt{26}}{13}.
+\frac{2t_2 - 8t_1}{1} = \frac{-2t_2 - 4t_1 - 2}{-1} = \frac{t_2 - t_1 - 4}{-4} = \lambda.
 \]
-Таким образом,
+Решая, находим \(t_1 = -\frac{1}{6}\), \(t_2 = -\frac{1}{6}\). Тогда:
 \[
-\boxed{d = \frac{5\sqrt{26}}{13}}.
+P_1 = \left(-\frac{1}{3},\; \frac{4}{3},\; \frac{17}{6}\right), \quad
+P_2 = \left(\frac{2}{3},\; \frac{1}{3},\; -\frac{7}{6}\right).
 \]
-**6. Точки пересечения общего перпендикуляра с прямыми**
-Уже найдены:
-- С первой прямой: \(\displaystyle P_1\left(\frac{105}{13},\; \frac{72}{13},\; \frac{101}{26}\right)\),
-- Со второй прямой: \(\displaystyle P_2\left(\frac{100}{13},\; \frac{87}{13},\; \frac{61}{26}\right)\).
 **Ответы:**
-) Уравнения общего перпендикуляра:
+) Расстояние \(d = 3\sqrt{2}\); уравнения общего перпендикуляра:
 \[
-\frac{x - \frac{105}{13}}{1} = \frac{y - \frac{72}{13}}{-3} = \frac{z - \frac{101}{26}}{4};
+x - 11y + 4z + 5 = 0,\; x + y - 1 = 0.
 \]
-расстояние \( d = \dfrac{5\sqrt{26}}{13} \).
 ) Точки пересечения:
 \[
-P_1\left(\frac{105}{13},\; \frac{72}{13},\; \frac{101}{26}\right), \quad
+\left( -\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{17}{6} \right),\; \left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{7}{6} \right).
-P_2\left(\frac{100}{13},\; \frac{87}{13},\; \frac{61}{26}\right).
 \]