math:580

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

math:580 [2026/02/09 19:18] – создано rootmath:580 [2026/02/09 19:20] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-=== Условие задачи ===   +=== Условие задачи === 
-Найти ортогональную проекцию точки \( M(1, 2, -3) \) на плоскость  +Найти ортогональную проекцию точки \( M(1, 2, -3) \) на плоскость
 \[ \[
 6x - y + 3z - 41 = 0. 6x - y + 3z - 41 = 0.
 \] \]
  
-=== Решение ===  +=== Решение === 
 +**1. Нормальный вектор плоскости** 
 +Из уравнения плоскости: 
 +\[ 
 +\vec{n} = (6, -1, 3). 
 +\]
  
-1. **Нормальный вектор плоскости**   +**2. Уравнение перпендикулярной прямой** 
-   Из уравнения плоскости получаем:   +Прямая, проходящая через точку \( M \) и перпендикулярная плоскости, имеет направляющий вектор \( \vec{n} \). Её параметрические уравнения: 
-   \[ +\[ 
-   \vec{n} = (6, -1, 3). +\begin{cases} 
-   \]+x = 1 + 6t, \\ 
 +y = 2 - t, \\ 
 +z = -3 + 3t. 
 +\end{cases} 
 +\]
  
-2. **Уравнение перпендикулярной прямой**   +**3. Нахождение точки пересечения с плоскостью** 
-   Прямая, проходящая через точку \( M \) и перпендикулярная плоскости, имеет направляющий вектор \( \vec{n} \). Её параметрические уравнения:   +Подставим параметрические уравнения в уравнение плоскости: 
-   \[ +\[ 
-   \begin{cases} +6(1+6t) - (2-t) + 3(-3+3t) - 41 = 0. 
-   x = 1 + 6t, \\ +\] 
-   y = 2 - t, \\ +Раскрываем скобки и упрощаем: 
-   z = -3 + 3t. +\[ 
-   \end{cases} +6 + 36t - 2 + t - 9 + 9t - 41 = 0, 
-   \]+\] 
 +\[ 
 +(6 - 2 - 9 - 41) + (36t + t + 9t) = -46 + 46t = 0, 
 +\] 
 +\[ 
 +46t = 46 \quad \Rightarrow \quad t = 1. 
 +\]
  
-3. **Нахождение точки пересечения с плоскостью**   +**4. Координаты проекции** 
-   Подставим выражения для \( x, y, z \) в уравнение плоскости:   +Подставляем \( t = 1 \) в параметрические уравнения: 
-   \[ +\[ 
-   6(1+6t) - (2-t) + 3(-3+3t) - 41 = 0. +x = 1 + 6 \cdot 1 = 7, \quad y = 2 - 1 = 1, \quad z = -3 + 3 \cdot 1 = 0. 
-   \]   +\]
-   Раскроем скобки:   +
-   \[ +
-   6 + 36t - 2 + t - 9 + 9t - 41 = 0. +
-   \]   +
-   Приведём подобные:   +
-   \[ +
-   (6 - 2 - 9 - 41) + (36t + t + 9t) = -46 + 46t = 0. +
-   \]   +
-   Отсюда \( 46t = 46 \), то есть \( t = 1 \). +
- +
-4. **Координаты проекции**   +
-   Подставим \( t = 1 \) в параметрические уравнения прямой:   +
-   \[ +
-   x = 1 + 6 \cdot 1 = 7, \quad y = 2 - 1 = 1, \quad z = -3 + 3 \cdot 1 = 0. +
-   \]+
  
-**Ответ:**   +**Ответ:** 
-Ортогональная проекция точки \( (1, 2, -3) \) на данную плоскость есть  +Ортогональная проекция точки \( (1, 2, -3) \) на данную плоскость есть
 \[ \[
 \boxed{(7, 1, 0)}. \boxed{(7, 1, 0)}.
 \] \]