Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math:543 [2026/01/31 17:18] – root
+++ math:543 [2026/01/31 17:28] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-===== Взаимное расположение четырёх пар прямых (задача 543) =====
+===== Взаимное расположение пар прямых, заданных как пересечение плоскостей =====
-Рассмотрим каждую пару прямых, заданных как линии пересечения двух плоскостей.
+==== Задача 543 ====
-Для каждой пары:
+Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если прямые параллельны, то написать уравнение плоскости, проходящей через них; если прямые пересекаются, то написать уравнение содержащей их плоскости и найти их общую точку.
-- Найдем направляющие векторы прямых \(\mathbf{a}_1\) и \(\mathbf{a}_2\) как векторные произведения нормалей плоскостей.
-- Возьмем по точке на каждой прямой.
-- Если \(\mathbf{a}_1 \parallel \mathbf{a}_2\), проверяем, лежит ли точка первой прямой на второй прямой (тогда прямые совпадают), иначе – параллельны.
-- Если не параллельны, проверяем, пересекаются ли они, решая систему из 4 уравнений. Если система совместна – пересекаются, иначе – скрещиваются.
 === Пара 1 ===
 Прямые:
 \[
-L_1:\begin{cases}x+z-1=0\\3x+y-z+13=0\end{cases},\qquad
+L_1:\begin{cases}x+z-1=0\\3x+y-z+13=0\end{cases},\quad
 L_2:\begin{cases}x-2y+3=0\\y+2z-8=0\end{cases}
 \]
-Направляющий вектор \(L_1\):
-\[
-\mathbf{a}_1=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&0&1\\3&1&-1\end{vmatrix}=(-1,4,1).
-\]
-Точка на \(L_1\): пусть \(x=0\), тогда \(z=1\), \(y=-13+z=-12\) → \(M_1(0,-12,1)\).
-Направляющий вектор \(L_2\):
+**Решение:**
-\[
+Направляющие векторы:
-\mathbf{a}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&-2&0\\0&1&2\end{vmatrix}=(-4,-2,1).
+\(\mathbf{a}_1 = (-1,4,1)\), \(\mathbf{a}_2 = (-4,-2,1)\).
-\]
+Точка на \(L_1\): \(M_1(1,-16,0)\), на \(L_2\): \(M_2(-3,0,4)\).
-Точка на \(L_2\): пусть \(x=1\), тогда \(-2y+3=0\) → \(y=1.5\), \(1.5+2z-8=0\) → \(z=3.25\) → \(M_2(1,1.5,3.25)\).
+Векторы не коллинеарны. Параметризуем и приравниваем:
+\(L_1: (1-t,\;4t-16,\;t)\), \(L_2: (13-4s,\;8-2s,\;s)\).
+Получаем \(t=4\), \(s=4\), общая точка \(P(-3,0,4)\).
+Плоскость, содержащая обе прямые: нормаль \(\mathbf{n}=\mathbf{a}_1\times\mathbf{a}_2=(6,-3,18)\sim(2,-1,6)\).
+Уравнение: \(2(x+3)-y+6(z-4)=0\) → \(2x-y+6z-18=0\).
-Векторы не коллинеарны. Смешанное произведение:
+**Ответ:** Прямые пересекаются в точке \((-3,0,4)\), уравнение плоскости \(2x-y+6z-18=0\).
-\[
-(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\overrightarrow{M_1M_2})=\begin{vmatrix}-1&4&1\\-4&-2&1\\1&13.5&2.25\end{vmatrix}\neq0.
-\]
-**Ответ:** Прямые скрещиваются.
 === Пара 2 ===
 Прямые:
 \[
-L_1:\begin{cases}x-2y+3=0\\y+2z-8=0\end{cases},\qquad
+L_1:\begin{cases}2x+3y=0\\x+z-8=0\end{cases},\quad
-L_2:\begin{cases}2x+3y=0\\x+z-8=0\end{cases}
+L_2:\begin{cases}z-4=0\\2x+3z-7=0\end{cases}
 \]
-Направляющий вектор \(L_1\) (уже найден): \(\mathbf{a}_1=(-4,-2,1)\).
-Точка на \(L_1\): пусть \(y=0\), тогда \(x=-3\), \(z=4\) → \(M_1(-3,0,4)\).
+**Решение:**
+Направляющие векторы:
+\(\mathbf{a}_1=(3,-2,-3)\), \(\mathbf{a}_2=(0,1,0)\).
+Точка на \(L_1\): \(M_1(0,0,8)\), на \(L_2\): \(M_2(-2.5,0,4)\).
+Векторы не коллинеарны. Параметризуем:
+\(L_1: (8-t,\;(2t-16)/3,\;t)\), \(L_2: (-2.5,\;s,\;4)\).
+Приравнивая, получаем противоречие: \(t=10.5\) и \(t=4\).
+Смешанное произведение \((\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\overrightarrow{M_1M_2})\neq0\).
-Направляющий вектор \(L_2\):
+**Ответ:** Прямые скрещиваются.
-\[
-\mathbf{a}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\2&3&0\\1&0&1\end{vmatrix}=(3,-2,-3).
-\]
-Точка на \(L_2\): пусть \(x=0\), тогда \(y=0\), \(z=8\) → \(M_2(0,0,8)\).
-Векторы не коллинеарны. Решаем систему:
-\[
-\begin{cases}x-2y+3=0\\y+2z-8=0\\2x+3y=0\\x+z-8=0\end{cases}
-\]
-Из четвертого: \(x=8-z\). Из третьего: \(2(8-z)+3y=0\) → \(16-2z+3y=0\).
-Из первого: \(8-z-2y+3=0\) → \(11-z-2y=0\) → \(z=11-2y\).
-Подставляем во второе: \(y+2(11-2y)-8=0\) → \(y+22-4y-8=0\) → \(-3y+14=0\) → \(y=\frac{14}{3}\).
-Тогда \(z=11-\frac{28}{3}=\frac{5}{3}\), \(x=8-\frac{5}{3}=\frac{19}{3}\).
-Проверка показывает, что вычисления привели к нецелым числам, но ранее я находил точку \((3,-2,5)\). Пересчитаем аккуратно.
-Возьмем точку пересечения проще: параметризуем \(L_1\). Из \(y+2z-8=0\) → \(y=8-2z\). Из \(x-2y+3=0\) → \(x=2y-3=2(8-2z)-3=16-4z-3=13-4z\).
-Параметризация \(L_1\): \(x=13-4t,\; y=8-2t,\; z=t\).
-Параметризуем \(L_2\). Из \(x+z-8=0\) → \(x=8-z\). Из \(2x+3y=0\) → \(2(8-z)+3y=0\) → \(16-2z+3y=0\) → \(y=\frac{2z-16}{3}\).
-Параметризация \(L_2\): \(x=8-s,\; y=\frac{2s-16}{3},\; z=s\).
-Приравниваем координаты:
-\[
-\begin{cases}13-4t=8-s\\8-2t=\frac{2s-16}{3}\\t=s\end{cases}
-\]
-Из первого при \(t=s\): \(13-4s=8-s\) → \(5=3s\) → \(s=\frac{5}{3}\).
-Тогда \(t=\frac{5}{3}\). Проверяем второе: левая часть \(8-2\cdot\frac{5}{3}=8-\frac{10}{3}=\frac{14}{3}\), правая часть \(\frac{2\cdot\frac{5}{3}-16}{3}=\frac{\frac{10}{3}-16}{3}=\frac{\frac{10-48}{3}}{3}=\frac{-\frac{38}{3}}{3}=-\frac{38}{9}\) – не совпадает. Значит, система несовместна? Но ранее я находил точку пересечения \((3,-2,5)\). Попробуем найти точку пересечения непосредственно подстановкой.
-Подставим параметризацию \(L_1\) в уравнения \(L_2\):
-Для \(L_2\): \(2x+3y=0\) и \(x+z-8=0\).
-Подставляем \(x=13-4t,\; y=8-2t,\; z=t\):
-Первое: \(2(13-4t)+3(8-2t)=26-8t+24-6t=50-14t=0\) → \(t=\frac{25}{7}\).
-Второе: \((13-4t)+t-8=13-4t+t-8=5-3t=0\) → \(t=\frac{5}{3}\).
-Получили разные \(t\), значит, точка с \(L_1\) не лежит на \(L_2\). Следовательно, прямые не пересекаются. Проверим смешанное произведение.
-Вектор \(\overrightarrow{M_1M_2}=(3,0,4)\). Смешанное произведение:
-\[
-(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\overrightarrow{M_1M_2})=\begin{vmatrix}-4&-2&1\\3&-2&-3\\3&0&4\end{vmatrix}=?
-\]
-Вычисляем:
-\((-4)\cdot(-2)\cdot4 + (-2)\cdot(-3)\cdot3 + 1\cdot3\cdot0 - 1\cdot(-2)\cdot3 - (-4)\cdot(-3)\cdot0 - (-2)\cdot3\cdot4\)
-= \(32 + 18 + 0 + 6 - 0 + 24 = 80 \neq 0\).
-Значит, прямые скрещиваются. Но в предыдущем разборе я указал, что они пересекаются. Ошибся. Исправляю.
-**Ответ для пары 2:** Прямые скрещиваются.
 === Пара 3 ===
 Прямые:
 \[
-L_1:\begin{cases}2x+3y=0\\x+z-8=0\end{cases},\qquad
+L_1:\begin{cases}x+y+z-1=0\\y+4z=0\end{cases},\quad
-L_2:\begin{cases}x+y+z-1=0\\y+4z=0\end{cases}
+L_2:\begin{cases}2x+3y+6z-6=0\\3x+4y+7z=0\end{cases}
 \]
-Направляющий вектор \(L_1\):
-\[
-\mathbf{a}_1=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\2&3&0\\1&0&1\end{vmatrix}=(3,-2,-3).
-\]
-Точка на \(L_1\): пусть \(x=0\), тогда \(y=0\), \(z=8\) → \(M_1(0,0,8)\).
-Направляющий вектор \(L_2\):
+**Решение:**
-\[
+Направляющие векторы:
-\mathbf{a}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&1&1\\0&1&4\end{vmatrix}=(3,-4,1).
+\(\mathbf{a}_1=(3,-4,1)\), \(\mathbf{a}_2=(-3,4,-1)=-\mathbf{a}_1\) → коллинеарны.
-\]
+Точка на \(L_1\): \(M_1(1,0,0)\) не лежит на \(L_2\) (проверка: \(2\cdot1+3\cdot0+6\cdot0-6=-4\neq0\)).
-Точка на \(L_2\): пусть \(z=0\), тогда \(y=0\), \(x=1\) → \(M_2(1,0,0)\).
+Значит, прямые параллельны.
+Точка на \(L_2\): \(M_2(-24,18,0)\).
+Плоскость, содержащая обе прямые: через \(M_1\) с векторами \(\mathbf{a}_1\) и \(\overrightarrow{M_1M_2}=(-25,18,0)\).
+Нормаль \(\mathbf{n}=\mathbf{a}_1\times\overrightarrow{M_1M_2}=(-18,-25,-46)\sim(18,25,46)\).
+Уравнение: \(18(x-1)+25y+46z=0\) → \(18x+25y+46z-18=0\).
-Векторы не коллинеарны. Решаем систему:
+**Ответ:** Прямые параллельны, уравнение плоскости \(18x+25y+46z-18=0\).
-Параметризуем \(L_1\): из \(x+z-8=0\) → \(x=8-z\). Из \(2x+3y=0\) → \(2(8-z)+3y=0\) → \(16-2z+3y=0\) → \(y=\frac{2z-16}{3}\). Пусть \(z=t\): \(x=8-t,\; y=\frac{2t-16}{3},\; z=t\).
-Подставляем в уравнения \(L_2\):
-\(x+y+z-1=0\) → \((8-t)+\frac{2t-16}{3}+t-1=0\). Умножим на 3: \(24-3t+2t-16+3t-3=0\) → \(5+2t=0\) → \(t=-\frac{5}{2}\).
-\(y+4z=0\) → \(\frac{2t-16}{3}+4t=0\) → умножим на 3: \(2t-16+12t=0\) → \(14t=16\) → \(t=\frac{8}{7}\).
-Получили разные \(t\), значит, система несовместна? Проверим смешанное произведение.
-Вектор \(\overrightarrow{M_1M_2}=(1,0,-8)\). Смешанное произведение:
-\[
-(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\overrightarrow{M_1M_2})=\begin{vmatrix}3&-2&-3\\3&-4&1\\1&0&-8\end{vmatrix}=?
-\]
-Вычисляем:
-\(3\cdot(-4)\cdot(-8) + (-2)\cdot1\cdot1 + (-3)\cdot3\cdot0 - (-3)\cdot(-4)\cdot1 - 3\cdot1\cdot0 - (-2)\cdot3\cdot(-8)\)
-= \(96 -2 +0 -12 -0 -48 = 34 \neq 0\).
-Следовательно, прямые скрещиваются.
-Но в предыдущем разборе я указал пересекающимися. Ошибка произошла из-за неаккуратного решения системы. Исправляю.
-**Ответ для пары 3:** Прямые скрещиваются.
 === Пара 4 ===
 Прямые:
 \[
-L_1:\begin{cases}x+y+z-1=0\\y+4z=0\end{cases},\qquad
+L_1:\begin{cases}3x+y-2z-6=0\\41x-19y+52z-68=0\end{cases},\quad
-L_2:\begin{cases}2x+3y+6z-6=0\\3x+4y+7z=0\end{cases}
+L_2:\begin{cases}22x-9y+25z-37=0\\19x-10y+27z-31=0\end{cases}
 \]
-Направляющий вектор \(L_1\):
-\[
-\mathbf{a}_1=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&1&1\\0&1&4\end{vmatrix}=(3,-4,1).
-\]
-Точка на \(L_1\): пусть \(z=0\), тогда \(y=0\), \(x=1\) → \(M_1(1,0,0)\).
-Направляющий вектор \(L_2\):
-\[
-\mathbf{a}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\2&3&6\\3&4&7\end{vmatrix}=(-3,4,-1)=-\mathbf{a}_1.
-\]
-Точка на \(L_2\): пусть \(z=0\), тогда \(2x+3y=6,\;3x+4y=0\) → из второго \(x=-\frac{4}{3}y\), подставляем в первое: \(-\frac{8}{3}y+3y=6\) → \(\frac{1}{3}y=6\) → \(y=18\), \(x=-24\) → \(M_2(-24,18,0)\).
-Векторы коллинеарны. Проверим, лежит ли \(M_1\) на \(L_2\): подставляем в уравнения \(L_2\):
-\(2\cdot1+3\cdot0+6\cdot0-6=-4\neq0\), не лежит. Значит, прямые параллельны.
-Уравнение плоскости, проходящей через обе параллельные прямые:
-Вектор \(\overrightarrow{M_1M_2}=(-25,18,0)\). Нормаль плоскости \(\mathbf{n}=\mathbf{a}_1\times\overrightarrow{M_1M_2}\).
-\[
-\mathbf{n}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\3&-4&1\\-25&18&0\end{vmatrix}=(-18, -25, 14)?
-\]
-Вычисляем:
-\(\mathbf{i}(-4\cdot0-1\cdot18) - \mathbf{j}(3\cdot0-1\cdot(-25)) + \mathbf{k}(3\cdot18-(-4)\cdot(-25)) = \mathbf{i}(0-18) - \mathbf{j}(0+25) + \mathbf{k}(54-100) = (-18, -25, -46)\).
-Можно сократить на -1: \((18,25,46)\).
-Уравнение плоскости через \(M_1\): \(18(x-1)+25y+46z=0\) → \(18x+25y+46z-18=0\).
-В предыдущем разборе я получил плоскость \(9x+11y+7z-9=0\). Это расхождение требует проверки.
-Пересчитаем нормаль аккуратно:
-\(\mathbf{a}_1=(3,-4,1)\), \(\overrightarrow{M_1M_2}=(-25,18,0)\).
-Векторное произведение:
-\[
-\mathbf{a}_1\times\overrightarrow{M_1M_2} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\3&-4&1\\-25&18&0\end{vmatrix}
-= \mathbf{i}\bigl((-4)\cdot0 - 1\cdot18\bigr) - \mathbf{j}\bigl(3\cdot0 - 1\cdot(-25)\bigr) + \mathbf{k}\bigl(3\cdot18 - (-4)\cdot(-25)\bigr)
-= \mathbf{i}(0-18) - \mathbf{j}(0+25) + \mathbf{k}(54-100)
-= (-18, -25, -46).
-\]
-Итак, нормаль \((-18,-25,-46)\), можно взять противоположный: \((18,25,46)\). Уравнение:
-\(18(x-1)+25y+46z=0\) → \(18x+25y+46z-18=0\).
-Проверим, проходит ли плоскость через \(M_2\): \(18\cdot(-24)+25\cdot18+46\cdot0-18 = -432+450-18=0\), верно.
-Теперь найдем уравнение плоскости другим способом: через пучок плоскостей, содержащих \(L_1\), и условие, что она содержит точку \(M_2\).
-Уравнение пучка через \(L_1\): \((x+y+z-1)+\lambda(y+4z)=0\) → \(x+(1+\lambda)y+(1+4\lambda)z-1=0\).
-Подставляем \(M_2(-24,18,0)\): \(-24+(1+\lambda)\cdot18-1=0\) → \(-24+18+18\lambda-1=0\) → \(-7+18\lambda=0\) → \(\lambda=\frac{7}{18}\).
-Тогда уравнение: \(x+(1+\frac{7}{18})y+(1+4\cdot\frac{7}{18})z-1=0\) → \(x+\frac{25}{18}y+\frac{46}{18}z-1=0\) → умножим на 18: \(18x+25y+46z-18=0\). Совпадает.
-Следовательно, плоскость \(18x+25y+46z-18=0\).
-**Ответ для пары 4:** Прямые параллельны, уравнение плоскости: \(18x+25y+46z-18=0\).
-==== Итоговые результаты для четырёх пар ====
+**Решение:**
-| № | Взаимное расположение | Дополнительно |
+Направляющие векторы:
-|---|------------------------|---------------|
+\(\mathbf{a}_1=(14,-238,-98)\sim(1,-17,-7)\), \(\mathbf{a}_2=(7,-119,-49)\sim(1,-17,-7)\) → коллинеарны.
-| 1 | Скрещиваются | — |
+Точка на \(L_1\): \(M_1(13/7,\;3/7,\;0)\) лежит на \(L_2\) (проверка подстановкой).
-| 2 | Скрещиваются | — |
+Дополнительная точка на \(L_1\): \(N(0,32,13)\) также лежит на \(L_2\).
-| 3 | Скрещиваются | — |
+Значит, прямые совпадают.
-| 4 | Параллельны | Плоскость: \(18x+25y+46z-18=0\) |
+**Ответ:** Прямые совпадают.