Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math:543 [2026/01/31 17:09] – создано root
+++ math:543 [2026/01/31 17:28] (текущий) – root
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если прямые параллельны, то написать уравнение плоскости, проходящей через них; если прямые пересекаются, то написать уравнение содержащей их плоскости и найти их общую точку.
-=== 1) ===
+=== Пара 1 ===
 Прямые:
 \[
-L_1: \begin{cases} x + z - 1 = 0 \\ 3x + y - z + 13 = 0 \end{cases}, \quad
+L_1:\begin{cases}x+z-1=0\\3x+y-z+13=0\end{cases},\quad
-L_2: \begin{cases} x - 2y + 3 = 0 \\ y + 2z - 8 = 0 \end{cases}
+L_2:\begin{cases}x-2y+3=0\\y+2z-8=0\end{cases}
 \]
 **Решение:**
-- Направляющий вектор \(L_1\): \(\mathbf{a}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1, 4, 1)\).
+Направляющие векторы:
-- Точка на \(L_1\): пусть \(x=0\), тогда \(z=1\), \(y = -13 + z = -12\), \(M_1(0, -12, 1)\).
+\(\mathbf{a}_1 = (-1,4,1)\), \(\mathbf{a}_2 = (-4,-2,1)\).
-- Направляющий вектор \(L_2\): \(\mathbf{a}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (-4, -2, 1)\).
+Точка на \(L_1\): \(M_1(1,-16,0)\), на \(L_2\): \(M_2(-3,0,4)\).
-- Точка на \(L_2\): пусть \(x=1\), тогда \(-2y+3=0 \Rightarrow y=1.5\), \(1.5+2z-8=0 \Rightarrow z=3.25\), \(M_2(1, 1.5, 3.25)\).
+Векторы не коллинеарны. Параметризуем и приравниваем:
+\(L_1: (1-t,\;4t-16,\;t)\), \(L_2: (13-4s,\;8-2s,\;s)\).
+Получаем \(t=4\), \(s=4\), общая точка \(P(-3,0,4)\).
+Плоскость, содержащая обе прямые: нормаль \(\mathbf{n}=\mathbf{a}_1\times\mathbf{a}_2=(6,-3,18)\sim(2,-1,6)\).
+Уравнение: \(2(x+3)-y+6(z-4)=0\) → \(2x-y+6z-18=0\).
-Векторы \(\mathbf{a}_1\) и \(\mathbf{a}_2\) не коллинеарны. Проверим смешанное произведение:
+**Ответ:** Прямые пересекаются в точке \((-3,0,4)\), уравнение плоскости \(2x-y+6z-18=0\).
-\[
-(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \overrightarrow{M_1M_2}) = \begin{vmatrix} -1 & 4 & 1 \\ -4 & -2 & 1 \\ 1 & 13.5 & 2.25 \end{vmatrix} \neq 0.
-\]
-**Ответ:** Прямые скрещиваются.
-=== 2) ===
+=== Пара 2 ===
 Прямые:
 \[
-L_1: \begin{cases} x - 2y + 3 = 0 \\ y + 2z - 8 = 0 \end{cases}, \quad
+L_1:\begin{cases}2x+3y=0\\x+z-8=0\end{cases},\quad
-L_2: \begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ x + z - 8 = 0 \end{cases}
+L_2:\begin{cases}z-4=0\\2x+3z-7=0\end{cases}
 \]
 **Решение:**
-- \(\mathbf{a}_1 = (-4, -2, 1)\) (как в предыдущем пункте для такой же первой прямой).
+Направляющие векторы:
-- Точка \(M_1\): пусть \(y=0\), тогда \(x=-3\), \(z=4\), \(M_1(-3, 0, 4)\).
+\(\mathbf{a}_1=(3,-2,-3)\), \(\mathbf{a}_2=(0,1,0)\).
-- \(\mathbf{a}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (3, -2, -3)\).
+Точка на \(L_1\): \(M_1(0,0,8)\), на \(L_2\): \(M_2(-2.5,0,4)\).
-- Точка \(M_2\): пусть \(x=0\), тогда \(y=0\), \(z=8\), \(M_2(0, 0, 8)\).
+Векторы не коллинеарны. Параметризуем:
+\(L_1: (8-t,\;(2t-16)/3,\;t)\), \(L_2: (-2.5,\;s,\;4)\).
+Приравнивая, получаем противоречие: \(t=10.5\) и \(t=4\).
+Смешанное произведение \((\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\overrightarrow{M_1M_2})\neq0\).
-Векторы не коллинеарны. Проверяем пересечение: система из 4 уравнений совместна, находим общую точку \(P(3, -2, 5)\).
-Плоскость, содержащая обе прямые: нормаль \(\mathbf{n} = \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2 = (8, 9, 14)\). Через точку \(P\): \(8(x-3) + 9(y+2) + 14(z-5) = 0 \Rightarrow 8x + 9y + 14z - 76 = 0\).
-**Ответ:** Прямые пересекаются в точке \((3, -2, 5)\), уравнение плоскости \(8x + 9y + 14z - 76 = 0\).
-=== 3) ===
-Прямые:
-\[
-L_1: \begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ x + z - 8 = 0 \end{cases}, \quad
-L_2: \begin{cases} x + y + z - 1 = 0 \\ y + 4z = 0 \end{cases}
-\]
-**Решение:**
-- \(\mathbf{a}_1 = (3, -2, -3)\) (как в предыдущем пункте).
-- Точка \(M_1\): пусть \(x=0\), тогда \(y=0\), \(z=8\), \(M_1(0, 0, 8)\).
-- \(\mathbf{a}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} = (3, -4, 1)\).
-- Точка \(M_2\): пусть \(z=0\), тогда \(y=0\), \(x=1\), \(M_2(1, 0, 0)\).
-Векторы не коллинеарны. Смешанное произведение:
-\[
-(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \overrightarrow{M_1M_2}) = \begin{vmatrix} 3 & -2 & -3 \\ 3 & -4 & 1 \\ 1 & 0 & -8 \end{vmatrix} = 0.
-\]
-Система совместна, общая точка \(P(2, -\frac{4}{3}, 6)\).
-Плоскость, содержащая обе прямые: нормаль \(\mathbf{n} = \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2 = (-14, -12, -6)\). Через \(P\): \(-14(x-2) -12(y+\frac{4}{3}) -6(z-6)=0 \Rightarrow 7x + 6y + 3z - 38 = 0\).
-**Ответ:** Прямые пересекаются в точке \((2, -\frac{4}{3}, 6)\), уравнение плоскости \(7x + 6y + 3z - 38 = 0\).
-=== 4) ===
-Прямые:
-\[
-L_1: \begin{cases} x + y + z - 1 = 0 \\ y + 4z = 0 \end{cases}, \quad
-L_2: \begin{cases} 2x + 3y + 6z - 6 = 0 \\ 3x + 4y + 7z = 0 \end{cases}
-\]
-**Решение:**
-- \(\mathbf{a}_1 = (3, -4, 1)\) (как выше).
-- Точка \(M_1(1,0,0)\).
-- \(\mathbf{a}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 6 \\ 3 & 4 & 7 \end{vmatrix} = (-3, 4, -1) = -(3, -4, 1)\).
-- Точка \(M_2\): пусть \(z=0\), тогда \(2x+3y=6\), \(3x+4y=0 \Rightarrow y=-9, x=12\), \(M_2(12, -9, 0)\).
-Векторы коллинеарны (\(\mathbf{a}_2 = -\mathbf{a}_1\)). Точка \(M_1\) не лежит на \(L_2\) (подстановка в уравнения \(L_2\) не выполняется).
-Уравнение плоскости, содержащей обе параллельные прямые:
-Вектор \(\overrightarrow{M_1M_2} = (11, -9, 0)\), нормаль \(\mathbf{n} = \mathbf{a}_1 \times \overrightarrow{M_1M_2} = (9, 11, 7)\).
-Через \(M_1\): \(9(x-1) + 11y + 7z = 0 \Rightarrow 9x + 11y + 7z - 9 = 0\).
-**Ответ:** Прямые параллельны, уравнение плоскости \(9x + 11y + 7z - 9 = 0\).
-=== 5) ===
-Прямые:
-\[
-L_1: \begin{cases} 2x + 3y + 6z - 6 = 0 \\ 3x + 4y + 7z = 0 \end{cases}, \quad
-L_2: \begin{cases} 3x + y - 2z - 6 = 0 \\ 41x - 19y + 52z - 68 = 0 \end{cases}
-\]
-**Решение:**
-- \(\mathbf{a}_1 = (-3, 4, -1)\).
-- Точка \(M_1\): пусть \(z=0\), тогда \(2x+3y=6\), \(3x+4y=0 \Rightarrow y=-9, x=12\), \(M_1(12, -9, 0)\).
-- \(\mathbf{a}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 41 & -19 & 52 \end{vmatrix} = (50, -178, -98) = 2(25, -89, -49)\).
-- Точка \(M_2\): пусть \(z=0\), тогда \(3x+y=6\), \(41x-19y=68\), находим \(x=2, y=0\), \(M_2(2, 0, 0)\).
-Векторы не коллинеарны. Смешанное произведение:
-\[
-(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \overrightarrow{M_1M_2}) = \begin{vmatrix} -3 & 4 & -1 \\ 25 & -89 & -49 \\ -10 & 9 & 0 \end{vmatrix} \neq 0.
-\]
 **Ответ:** Прямые скрещиваются.
-=== 6) ===
+=== Пара 3 ===
 Прямые:
 \[
-L_1: \begin{cases} 3x + y - 2z - 6 = 0 \\ 41x - 19y + 52z - 68 = 0 \end{cases}, \quad
+L_1:\begin{cases}x+y+z-1=0\\y+4z=0\end{cases},\quad
-L_2: \begin{cases} 22x - 9y + 25z - 37 = 0 \\ 19x - 10y + 27z - 31 = 0 \end{cases}
+L_2:\begin{cases}2x+3y+6z-6=0\\3x+4y+7z=0\end{cases}
 \]
 **Решение:**
-- \(\mathbf{a}_1 = (50, -178, -98)\).
+Направляющие векторы:
-- Точка \(M_1(2, 0, 0)\).
+\(\mathbf{a}_1=(3,-4,1)\), \(\mathbf{a}_2=(-3,4,-1)=-\mathbf{a}_1\) → коллинеарны.
-- \(\mathbf{a}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 22 & -9 & 25 \\ 19 & -10 & 27 \end{vmatrix} = (7, 1, -1)\).
+Точка на \(L_1\): \(M_1(1,0,0)\) не лежит на \(L_2\) (проверка: \(2\cdot1+3\cdot0+6\cdot0-6=-4\neq0\)).
-- Точка \(M_2\): пусть \(z=0\), тогда \(22x-9y=37\), \(19x-10y=31\), находим \(x=1, y=-1\), \(M_2(1, -1, 0)\).
+Значит, прямые параллельны.
+Точка на \(L_2\): \(M_2(-24,18,0)\).
+Плоскость, содержащая обе прямые: через \(M_1\) с векторами \(\mathbf{a}_1\) и \(\overrightarrow{M_1M_2}=(-25,18,0)\).
+Нормаль \(\mathbf{n}=\mathbf{a}_1\times\overrightarrow{M_1M_2}=(-18,-25,-46)\sim(18,25,46)\).
+Уравнение: \(18(x-1)+25y+46z=0\) → \(18x+25y+46z-18=0\).
-Векторы не коллинеарны. Система из 4 уравнений совместна, общая точка \(P(2, 1, 2)\).
+**Ответ:** Прямые параллельны, уравнение плоскости \(18x+25y+46z-18=0\).
-Плоскость, содержащая обе прямые: нормаль \(\mathbf{n} = \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2 = (276, -636, 456)\). Упрощаем: делим на 12, \((23, -53, 38)\). Через \(P\): \(23(x-2) -53(y-1) + 38(z-2) = 0 \Rightarrow 23x - 53y + 38z - 47 = 0\).
+=== Пара 4 ===
-**Ответ:** Прямые пересекаются в точке \((2, 1, 2)\), уравнение плоскости \(23x - 53y + 38z - 47 = 0\).
-=== 7) ===
 Прямые:
 \[
-L_1: \begin{cases} 22x - 9y + 25z - 37 = 0 \\ 19x - 10y + 27z - 31 = 0 \end{cases}, \quad
+L_1:\begin{cases}3x+y-2z-6=0\\41x-19y+52z-68=0\end{cases},\quad
-L_2: \begin{cases} 3x + y - 2z - 6 = 0 \\ 41x - 19y + 52z - 68 = 0 \end{cases}
+L_2:\begin{cases}22x-9y+25z-37=0\\19x-10y+27z-31=0\end{cases}
-\]
-**Решение:**
-Прямые \(L_1\) и \(L_2\) — те же, что в пунктах 6 и 5, но поменяны местами. Мы уже установили, что они пересекаются в точке \((2, 1, 2)\) (в пункте 6 это были \(L_2\) и \(L_1\) соответственно). Чтобы избежать путаницы, переобозначим:
-Первая прямая (из условия 7) — это \(L_a\): системы как в пункте 6 для \(L_2\)? Проверим:
-Условие 7:
-\[
-L_a: \begin{cases} 22x - 9y + 25z - 37 = 0 \\ 19x - 10y + 27z - 31 = 0 \end{cases}
-\]
-Это совпадает с \(L_2\) из пункта 6. Вторая прямая:
-\[
-L_b: \begin{cases} 3x + y - 2z - 6 = 0 \\ 41x - 19y + 52z - 68 = 0 \end{cases}
 \]
-Это совпадает с \(L_1\) из пункта 6. В пункте 6 мы уже выяснили, что они пересекаются.
-**Ответ:** Прямые пересекаются в точке \((2, 1, 2)\), уравнение плоскости \(23x - 53y + 38z - 47 = 0\).
+**Решение:**
+Направляющие векторы:
+\(\mathbf{a}_1=(14,-238,-98)\sim(1,-17,-7)\), \(\mathbf{a}_2=(7,-119,-49)\sim(1,-17,-7)\) → коллинеарны.
+Точка на \(L_1\): \(M_1(13/7,\;3/7,\;0)\) лежит на \(L_2\) (проверка подстановкой).
+Дополнительная точка на \(L_1\): \(N(0,32,13)\) также лежит на \(L_2\).
+Значит, прямые совпадают.
-==== Итоговая таблица ====
+**Ответ:** Прямые совпадают.
-| № | Взаимное расположение | Дополнительно (если требуется) |
-|---|------------------------|--------------------------------|
-| 1 | Скрещиваются | — |
-| 2 | Пересекаются | Точка: \((3, -2, 5)\), плоскость: \(8x + 9y + 14z - 76 = 0\) |
-| 3 | Пересекаются | Точка: \((2, -\frac{4}{3}, 6)\), плоскость: \(7x + 6y + 3z - 38 = 0\) |
-| 4 | Параллельны | Плоскость: \(9x + 11y + 7z - 9 = 0\) |
-| 5 | Скрещиваются | — |
-| 6 | Пересекаются | Точка: \((2, 1, 2)\), плоскость: \(23x - 53y + 38z - 47 = 0\) |
-| 7 | Пересекаются | Точка: \((2, 1, 2)\), плоскость: \(23x - 53y + 38z - 47 = 0\) |