Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math:500 [2026/01/31 16:08] – создано root
+++ math:500 [2026/01/31 16:11] (текущий) – [Решение] root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+===== Уравнение прямой, лежащей в плоскости и пересекающей две заданные прямые =====
+==== Условие задачи ====
+Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости \( y + 2z = 0 \) и пересекающей прямые:
+$$
+L_1: \begin{cases} x = 1 - t \\ y = t \\ z = 4t \end{cases}
+\quad \text{и} \quad
+L_2: \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 4 + 2t \\ z = 1 \end{cases}.
+$$
+Система координат аффинная.
 ===== Уравнение прямой, лежащей в плоскости и пересекающей две заданные прямые =====
@@ Строка 13: / Строка 24: @@
 Искомая прямая должна лежать в плоскости \( y + 2z = 0 \) и пересекать прямые \( L_1 \) и \( L_2 \). Обозначим точки пересечения: на \( L_1 \) — точка \( A \), на \( L_2 \) — точка \( B \). Так как эти точки принадлежат искомой прямой, а прямая лежит в плоскости, то точки \( A \) и \( B \) также должны удовлетворять уравнению плоскости.
-. Найдём точку пересечения с \( L_1 \).
+Найдём точку пересечения с \( L_1 \).
-   Пусть \( A \) соответствует параметру \( t_1 \) на \( L_1 \):
+Пусть \( A \) соответствует параметру \( t_1 \) на \( L_1 \):
-   $$ A(1 - t_1,\; t_1,\; 4t_1). $$
+$$ A(1 - t_1,\; t_1,\; 4t_1). $$
-   Подставим координаты в уравнение плоскости:
+Подставим координаты в уравнение плоскости:
-   $$ t_1 + 2 \cdot 4t_1 = 9t_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t_1 = 0. $$
+$$ t_1 + 2 \cdot 4t_1 = 9t_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t_1 = 0. $$
-   Следовательно, \( A(1, 0, 0) \).
+Следовательно, \( A(1, 0, 0) \).
-. Найдём точку пересечения с \( L_2 \).
-   Пусть \( B \) соответствует параметру \( t_2 \) на \( L_2 \):
-   $$ B(2 - t_2,\; 4 + 2t_2,\; 1). $$
-   Подставим в уравнение плоскости:
-   $$ (4 + 2t_2) + 2 \cdot 1 = 6 + 2t_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad t_2 = -3. $$
-   Тогда \( B(5, -2, 1) \).
-. Искомая прямая проходит через точки \( A \) и \( B \). Направляющий вектор:
+Найдём точку пересечения с \( L_2 \).
-   $$ \overrightarrow{AB} = (5-1,\; -2-0,\; 1-0) = (4, -2, 1). $$
+Пусть \( B \) соответствует параметру \( t_2 \) на \( L_2 \):
+$$ B(2 - t_2,\; 4 + 2t_2,\; 1). $$
+Подставим в уравнение плоскости:
+$$ (4 + 2t_2) + 2 \cdot 1 = 6 + 2t_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad t_2 = -3. $$
+Тогда \( B(5, -2, 1) \).
-. Уравнения прямой, проходящей через точку \( A(1,0,0) \) с направляющим вектором \( (4, -2, 1) \):
+Искомая прямая проходит через точки \( A \) и \( B \). Направляющий вектор:
-   В канонической форме:
+$$ \overrightarrow{AB} = (5-1,\; -2-0,\; 1-0) = (4, -2, 1). $$
-   $$ \frac{x-1}{4} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{1}. $$
-   В параметрической форме:
-   $$ \begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = -2t \\ z = t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}. $$
-   Прямая лежит в плоскости \( y + 2z = 0 \), так как для любых \( t \): \( y + 2z = -2t + 2t = 0 \).
+Уравнения прямой, проходящей через точку \( A(1,0,0) \) с направляющим вектором \( (4, -2, 1) \):
+В канонической форме:
+$$ \frac{x-1}{4} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{1}. $$
+В параметрической форме:
+$$ \begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = -2t \\ z = t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}. $$
+Прямая лежит в плоскости \( y + 2z = 0 \), так как для любых \( t \): \( y + 2z = -2t + 2t = 0 \).
+==== Ответ ====
+Уравнения искомой прямой:
+$$ \boxed{\frac{x-1}{4} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{1}} $$
+или в параметрическом виде:
+$$ \boxed{\begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = -2t \\ z = t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}} $$
 ==== Ответ ====
 Уравнения искомой прямой: