math:495

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
math:495 [2026/01/31 15:52] – rootmath:495 [2026/01/31 16:01] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-===== Уравнение общего перпендикуляра и расстояние между прямыми =====+===== Уравнение прямой в плоскости Oyz, параллельной оси Oy =====
  
 ==== Условие задачи ==== ==== Условие задачи ====
-1) Написать уравнения общего перпендикуляра к двум прямым: +Написать уравнения прямой, лежащей в плоскости Oyz, параллельной оси Oy и отсекающей на оси Oz отрезок, равный 3. Система координат аффинная.
-$$ \frac{x-1}{8} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-3}{1}, \quad \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-2} = \frac{z+1}{1} $$ +
-и найти расстояние $d$ между этими прямыми. +
- +
-2) Найти точки пересечения общего перпендикуляра к данным прямым с этими прямыми.+
  
 ==== Решение ==== ==== Решение ====
 +Прямая лежит в плоскости **Oyz**, поэтому для всех её точек выполняется:
 +$$ x = 0. $$
  
-Даны две прямые: +Прямая параллельна оси **Oy**, значит, её направляющий вектор коллинеарен вектору $(0,1,0)$. Следовательно, координата $y$ может принимать произвольные значения, а координаты $x$ и $z$ постоянны вдоль прямой.
-$$L_1: \frac{x-1}{8} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-3}{1}$$ +
-$$L_2: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-2} = \frac{z+1}{1}$$ +
- +
-==== 1) Уравнение общего перпендикуляра и расстояние \(d\) ==== +
- +
-**Решение:** +
- +
-Запишем прямые в параметрическом виде: +
-$$L_1: \begin{cases} +
-x = 1 + 8t \\ +
-y = 2 + 4t \\ +
-z = 3 + t +
-\end{cases}$$ +
-$$L_2: \begin{cases} +
-x = 1 + 2s \\ +
-y = -2s \\ +
-z = -1 + s +
-\end{cases}$$ +
- +
-На первой прямой возьмём точку $P$ с параметром $t$, на второй — точку $Q$ с параметром $s$: +
-$$P(1+8t,\; 2+4t,\; 3+t), \quad Q(1+2s,\; -2s,\; -1+s).$$ +
- +
-Вектор $\overrightarrow{PQ}$: +
-$$\overrightarrow{PQ} = \bigl( 2s - 8t,\; -2s - 4t - 2,\; s - t - 4 \bigr).$$ +
- +
-Направляющие векторы прямых: +
-$$\mathbf{a}_1 = (8,4,1), \quad \mathbf{a}_2 = (2,-2,1).$$ +
- +
-Условие перпендикулярности $\overrightarrow{PQ}$ к обоим направляющим векторам: +
-$$\begin{cases} +
-(\overrightarrow{PQ} \cdot \mathbf{a}_1) = 0 \\ +
-(\overrightarrow{PQ} \cdot \mathbf{a}_2) = 0 +
-\end{cases}$$ +
- +
-Распишем скалярные произведения: +
-$$\begin{cases} +
-(2s-8t)\cdot 8 + (-2s-4t-2)\cdot 4 + (s-t-4)\cdot 1 = 0 \\ +
-(2s-8t)\cdot 2 + (-2s-4t-2)\cdot (-2) + (s-t-4)\cdot 1 = 0 +
-\end{cases}$$ +
- +
-Упростим: +
-$$\begin{cases} +
-16s - 64t -8s -16t -8 + s - t -4 = 0 \\ +
-4s -16t +4s +8t +4 + s - t -4 = 0 +
-\end{cases}$$ +
-$$\begin{cases} +
-9s - 81t - 12 = 0 \\ +
-9s - 9t = 0 +
-\end{cases}$$ +
- +
-Из второго уравнения $s = t$, подставим в первое: +
-$$9t - 81t - 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad -72t = 12 \quad \Rightarrow \quad t = -\frac{1}{6}, \; s = -\frac{1}{6}.$$ +
- +
-Координаты точек $P$ и $Q$: +
-$$P:\; x = 1 + 8\cdot\left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{3}, \; +
-     y = 2 + 4\cdot\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{4}{3}, \; +
-     z = 3 - \frac{1}{6} = \frac{17}{6}.$$ +
-$$Q:\; x = 1 + 2\cdot\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{2}{3}, \; +
-     y = -2\cdot\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{3}, \; +
-     z = -1 - \frac{1}{6} = -\frac{7}{6}.$$ +
- +
-Вектор $\overrightarrow{PQ}$: +
-$$\overrightarrow{PQ} = \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{3},\; \frac{1}{3} - \frac{4}{3},\; -\frac{7}{6} - \frac{17}{6} \right) = \bigl( 1,\; -1,\; -4 \bigr).$$ +
- +
-**Уравнение общего перпендикуляра** (проходит через $P$ и $Q$): +
-$$\frac{x + \frac{1}{3}}{1} = \frac{y - \frac{4}{3}}{-1} = \frac{z - \frac{17}{6}}{-4}.$$+
  
-Можно избавиться от дробей, умножив каждое отношение на 6: +Таким образом, прямая имеет вид: 
-$$\frac{6x + 2}{6} = \frac{-6y + 8}{-6} = \frac{-6z + 17}{-24}.$$+$$ (0,\; y,\; z_0), $$ 
 +где $z_0$ — некоторая константа.
  
-**Расстояние $d$ между прямыми**: +Прямая пересекает ось **Oz**, которая задаётся уравнениями $x=0,\; y=0$. Точка пересечения: 
-$$d = |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.$$+$$ (0,\; 0,\; z_0). $$
  
-==== 2) Точки пересечения общего перпендикуляра с данными прямыми ====+Расстояние от начала координат до этой точки равно $|z_0|$. По условию прямая отсекает на оси Oz отрезок длиной 3, поэтому: 
 +$$ |z_0| = 3 \quad \Rightarrow \quad z_0 = 3 \;\text{или}\; z_0 = -3. $$
  
-**Ответ:**+Получаем две прямые, удовлетворяющие условию.
  
-Точка пересечения с $L_1$: +==== Уравнения прямых ==== 
-$$P\left( -\frac{1}{3},\; \frac{4}{3},\; \frac{17}{6} \right).$$+**Вариант 1:** $z_0 = 3$   
 +Прямая задаётся системой уравнений: 
 +$$ 
 +\begin{cases} 
 +x = 0,\\[2pt] 
 +z = 3. 
 +\end{cases} 
 +$$ 
 +Параметрическая форма: 
 +$$ 
 +\begin{cases} 
 +x = 0,\\ 
 +y = t,\\ 
 +z = 3, 
 +\end{cases} 
 +\quad t \in \mathbb{R}. 
 +$$
  
-Точка пересечения с $L_2$: +**Вариант 2:** $z_0 = -3$   
-$$Q\left( \frac{2}{3},\; \frac{1}{3},\; -\frac{7}{6} \right).$$+Прямая задаётся системой уравнений: 
 +$$ 
 +\begin{cases} 
 +x = 0,\\[2pt] 
 +z = -3. 
 +\end{cases} 
 +$$ 
 +Параметрическая форма: 
 +$$ 
 +\begin{cases} 
 +x = 0,\\ 
 +y = t,\\ 
 +z = -3, 
 +\end{cases} 
 +\quad t \in \mathbb{R}. 
 +$$
  
 +==== Ответ ====
 +Уравнения искомых прямых:
 +$$ \boxed{\begin{cases} x = 0,\\ z = 3 \end{cases}} \quad \text{или} \quad \boxed{\begin{cases} x = 0,\\ z = -3 \end{cases}} $$
 +(возможны оба варианта, так как отсекаемый отрезок равен 3 по длине).