Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math:492 [2026/01/31 15:55] – создано root
+++ math:492 [2026/01/31 16:05] (текущий) – root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-```dokuwiki
+===== Перпендикуляры и плоскости из точки в прямоугольной системе координат =====
-===== Провести плоскость через линию пересечения двух плоскостей под углом 45° =====
 ==== Условие задачи ====
-Через линию пересечения плоскостей
+Дана точка $A = (1, 2, 3)$. Система координат прямоугольная.
-$$ x + 5y + z = 0 \quad \text{и} \quad x - z + 4 = 0 $$
-провести плоскость, образующую угол $\frac{\pi}{4}$ с плоскостью
+) Составить уравнения перпендикуляров, опущенных из точки $A$ на координатные плоскости.
-$$ x - 4y - 8z + 12 = 0. $$
+) Написать уравнения перпендикуляров, опущенных из точки $A$ на оси координат.
+) Написать уравнения плоскостей, проходящих через точку $A$ и перпендикулярных к осям координат.
 ==== Решение ====
-Искомую плоскость будем искать в виде пучка плоскостей, проходящих через линию пересечения заданных плоскостей:
+=== 1) Перпендикуляры на координатные плоскости ===
+В прямоугольной системе координат направляющий вектор перпендикуляра к плоскости совпадает с вектором нормали к этой плоскости.
-$$ (x + 5y + z) + \lambda (x - z + 4) = 0. $$
+**Координатная плоскость $Oxy$** (уравнение $z=0$).
+Нормальный вектор: $\mathbf{n}_{Oxy} = (0, 0, 1)$.
+Перпендикуляр проходит через $A(1,2,3)$ и имеет направляющий вектор $(0,0,1)$.
+Канонические уравнения:
+$$ \frac{x-1}{0} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{1}. $$
+Параметрические уравнения:
+$$
+\begin{cases}
+x = 1,\\
+y = 2,\\
+z = 3 + t,
+\end{cases}
+\quad t \in \mathbb{R}.
+$$
-Раскроем скобки и приведём подобные:
+**Координатная плоскость $Oxz$** (уравнение $y=0$).
+Нормальный вектор: $\mathbf{n}_{Oxz} = (0, 1, 0)$.
+Перпендикуляр:
+Канонические уравнения:
+$$ \frac{x-1}{0} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{0}. $$
+Параметрические уравнения:
+$$
+\begin{cases}
+x = 1,\\
+y = 2 + t,\\
+z = 3,
+\end{cases}
+\quad t \in \mathbb{R}.
+$$
-$$ (1+\lambda)x + 5y + (1-\lambda)z + 4\lambda = 0. $$
+**Координатная плоскость $Oyz$** (уравнение $x=0$).
+Нормальный вектор: $\mathbf{n}_{Oyz} = (1, 0, 0)$.
+Перпендикуляр:
+Канонические уравнения:
+$$ \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{0}. $$
+Параметрические уравнения:
+$$
+\begin{cases}
+x = 1 + t,\\
+y = 2,\\
+z = 3,
+\end{cases}
+\quad t \in \mathbb{R}.
+$$
-Таким образом, нормальный вектор искомой плоскости:
+=== 2) Перпендикуляры на оси координат ===
-$$ \mathbf{n}_1 = (1+\lambda,\; 5,\; 1-\lambda). $$
+Перпендикуляр из точки на ось — это прямая, проходящая через точку $A$ и пересекающая ось под прямым углом.
-Нормальный вектор заданной плоскости:
+**Ось $Ox$** (направляющий вектор $\mathbf{s}_x = (1,0,0)$).
-$$ \mathbf{n}_2 = (1,\; -4,\; -8). $$
+Пусть $B_x(t,0,0)$ — точка пересечения перпендикуляра с осью $Ox$.
+Вектор $\overrightarrow{B_xA} = (1-t,\; 2,\; 3)$ должен быть перпендикулярен $\mathbf{s}_x$:
+$$ (1-t)\cdot 1 + 2\cdot 0 + 3\cdot 0 = 0 \quad \Rightarrow \quad 1-t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 1. $$
+Точка пересечения: $B_x(1,0,0)$.
+Направляющий вектор перпендикуляра: $\overrightarrow{B_xA} = (0,2,3)$.
+Канонические уравнения:
+$$ \frac{x-1}{0} = \frac{y-0}{2} = \frac{z-0}{3} \quad \text{или} \quad \frac{x-1}{0} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}. $$
+Параметрические уравнения:
+$$
+\begin{cases}
+x = 1,\\
+y = 2t,\\
+z = 3t,
+\end{cases}
+\quad t \in \mathbb{R}.
+$$
-Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами (или его дополнению до $180^\circ$, но берём острый угол). Поэтому:
+**Ось $Oy$** (направляющий вектор $\mathbf{s}_y = (0,1,0)$).
+Пусть $B_y(0,t,0)$ — точка пересечения.
+Вектор $\overrightarrow{B_yA} = (1,\; 2-t,\; 3)$ перпендикулярен $\mathbf{s}_y$:
+$$ 1\cdot 0 + (2-t)\cdot 1 + 3\cdot 0 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2-t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 2. $$
+Точка пересечения: $B_y(0,2,0)$.
+Направляющий вектор: $\overrightarrow{B_yA} = (1,0,3)$.
+Канонические уравнения:
+$$ \frac{x-0}{1} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-0}{3} \quad \text{или} \quad \frac{x}{1} = \frac{y-2}{0} = \frac{z}{3}. $$
+Параметрические уравнения:
+$$
+\begin{cases}
+x = t,\\
+y = 2,\\
+z = 3t,
+\end{cases}
+\quad t \in \mathbb{R}.
+$$
-$$ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1| \cdot |\mathbf{n}_2|} = \frac{\sqrt{2}}{2}. $$
+**Ось $Oz$** (направляющий вектор $\mathbf{s}_z = (0,0,1)$).
+Пусть $B_z(0,0,t)$ — точка пересечения.
+Вектор $\overrightarrow{B_zA} = (1,\; 2,\; 3-t)$ перпендикулярен $\mathbf{s}_z$:
+$$ 1\cdot 0 + 2\cdot 0 + (3-t)\cdot 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3-t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 3. $$
+Точка пересечения: $B_z(0,0,3)$.
+Направляющий вектор: $\overrightarrow{B_zA} = (1,2,0)$.
+Канонические уравнения:
+$$ \frac{x-0}{1} = \frac{y-0}{2} = \frac{z-3}{0} \quad \text{или} \quad \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z-3}{0}. $$
+Параметрические уравнения:
+$$
+\begin{cases}
+x = t,\\
+y = 2t,\\
+z = 3,
+\end{cases}
+\quad t \in \mathbb{R}.
+$$
-Вычислим скалярное произведение:
+=== 3) Плоскости через точку \(A\), перпендикулярные осям координат ===
-$$ \mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = (1+\lambda)\cdot 1 + 5\cdot(-4) + (1-\lambda)\cdot(-8) = 1+\lambda -20 -8 + 8\lambda = 9\lambda - 27. $$
+Плоскость, перпендикулярная оси, имеет нормальный вектор, коллинеарный направляющему вектору этой оси.
-Модуль:
+**Плоскость, перпендикулярная оси $Ox$** (нормаль $(1,0,0)$).
-$$ |\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2| = |9\lambda - 27| = 9|\lambda - 3|. $$
+Уравнение: $x = \text{const}$. Так как плоскость проходит через $A(1,2,3)$, то $x = 1$.
+Ответ: $x = 1$.
-Длины векторов:
+**Плоскость, перпендикулярная оси $Oy$** (нормаль $(0,1,0)$).
-$$ |\mathbf{n}_1| = \sqrt{(1+\lambda)^2 + 5^2 + (1-\lambda)^2} = \sqrt{2\lambda^2 + 27}. $$
+Уравнение: $y = \text{const}$. Через $A$: $y = 2$.
-$$ |\mathbf{n}_2| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{81} = 9. $$
+Ответ: $y = 2$.
-Подставим в формулу для косинуса:
+**Плоскость, перпендикулярная оси $Oz$** (нормаль $(0,0,1)$).
+Уравнение: $z = \text{const}$. Через $A$: $z = 3$.
+Ответ: $z = 3$.
-$$ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9|\lambda - 3|}{9 \sqrt{2\lambda^2 + 27}} = \frac{|\lambda - 3|}{\sqrt{2\lambda^2 + 27}}. $$
+==== Ответ ====
+=== 1) Перпендикуляры на координатные плоскости: ===
+- На $Oxy$: $\displaystyle \frac{x-1}{0} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{1}$ или $\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$.
+- На $Oxz$: $\displaystyle \frac{x-1}{0} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{0}$ или $\begin{cases} x=1, \\ z=3 \end{cases}$.
+- На $Oyz$: $\displaystyle \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{0}$ или $\begin{cases} y=2, \\ z=3 \end{cases}$.
-Возведём обе части в квадрат:
+=== 2) Перпендикуляры на оси координат: ===
+- На $Ox$: $\displaystyle \frac{x-1}{0} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$.
+- На $Oy$: $\displaystyle \frac{x}{1} = \frac{y-2}{0} = \frac{z}{3}$.
+- На $Oz$: $\displaystyle \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z-3}{0}$.
-$$ \frac{1}{2} = \frac{(\lambda - 3)^2}{2\lambda^2 + 27}. $$
+=== 3) Плоскости через $A$, перпендикулярные осям: ===
+- Перпендикулярна $Ox$: $x = 1$.
-Решаем полученное уравнение:
+- Перпендикулярна $Oy$: $y = 2$.
+- Перпендикулярна $Oz$: $z = 3$.
-$$ 2\lambda^2 + 27 = 2(\lambda - 3)^2, $$
-$$ 2\lambda^2 + 27 = 2(\lambda^2 - 6\lambda + 9), $$
-$$ 2\lambda^2 + 27 = 2\lambda^2 - 12\lambda + 18, $$
-$$ 27 = -12\lambda + 18, $$
-$$ 12\lambda = -9, $$
-$$ \lambda = -\frac{3}{4}. $$
-Подставляем найденное $\lambda$ в уравнение искомой плоскости:
-$$ (1 - \frac{3}{4})x + 5y + (1 + \frac{3}{4})z + 4\cdot\left(-\frac{3}{4}\right) = 0, $$
-$$ \frac{1}{4}x + 5y + \frac{7}{4}z - 3 = 0. $$
-Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей:
-$$ x + 20y + 7z - 12 = 0. $$
-==== Ответ ====
-Уравнение искомой плоскости:
-$$ x + 20y + 7z - 12 = 0. $$
-```