math:46.6

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
math:46.6 [2026/05/14 08:33] – [Условие] rootmath:46.6 [2026/05/18 06:20] (текущий) – [Пример: матрица из задачи 46.6(б)] root
Строка 76: Строка 76:
 Это канонический вид (блок \(1\) и блок поворота на \(90^\circ\)). Это канонический вид (блок \(1\) и блок поворота на \(90^\circ\)).
  
-==== в ====+==== в) ====
  
 === Условие === === Условие ===
Строка 170: Строка 170:
  
 Это и есть искомый канонический вид. Это и есть искомый канонический вид.
 +
 +
 +===== Общий алгоритм приведения ортогонального оператора к каноническому виду =====
 +
 +Пусть задан ортогональный оператор \(A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) (или \( \mathbb{C}^n \), но в вещественном случае чаще рассматривают евклидово пространство). Матрица \(A\) в некотором ортонормированном базисе удовлетворяет \(A^T A = I\) (\(\det A = \pm 1\)). Требуется найти ортонормированный базис, в котором матрица оператора имеет блочно-диагональный канонический вид:
 +
 +\[
 +\begin{pmatrix}
 +I_p & 0 & 0 & \dots \\
 +0 & -I_q & 0 & \dots \\
 +0 & 0 & R_{\varphi_1} & \dots \\
 +0 & 0 & 0 & R_{\varphi_2} \\
 +& & & \ddots
 +\end{pmatrix},
 +\quad
 +R_{\varphi} = \begin{pmatrix}
 +\cos\varphi & -\sin\varphi \\
 +\sin\varphi & \cos\varphi
 +\end{pmatrix}.
 +\]
 +
 +==== Шаг 1. Проверка ортогональности и нахождение собственных значений ====
 +Вычислить \(A^T A\) – должна получиться единичная матрица. Найти характеристический многочлен \(\det(A - \lambda I)\). Все его корни имеют модуль 1. Вещественные корни: \(\lambda = 1\) или \(\lambda = -1\). Комплексные корни разбиваются на пары \(e^{i\varphi}, e^{-i\varphi}\) (\(\varphi \neq 0,\pi\)).
 +
 +==== Шаг 2. Обработка вещественных собственных значений ====
 +Для \(\lambda = 1\) найти собственное подпространство \(E_1 = \ker(A - I)\) и построить в нём ортонормированный базис. Аналогично для \(\lambda = -1\) найти \(E_{-1} = \ker(A + I)\) и ортонормированный базис.
 +
 +==== Шаг 3. Обработка комплексных собственных значений ====
 +Если есть пара \(e^{\pm i\varphi}\) (\(\sin\varphi \neq 0\)), то выбираем один комплексный собственный вектор \(z = x + i y\) (\(x, y \in \mathbb{R}^n\)), соответствующий \(\lambda = e^{i\varphi}\). Тогда \(x\) и \(y\) линейно независимы, порождают инвариантную двумерную плоскость \(L\), ортогональную ко всем вещественным собственным подпространствам. На \(L\) оператор действует как поворот на угол \(\varphi\) (при ориентации, задаваемой парой \(x, y\)). Применим процесс Грама-Шмидта к \(x, y\): \(u_1 = \frac{x}{\|x\|}\), \(u_2 = \frac{y - (y,u_1)u_1}{\|y - (y,u_1)u_1\|}\). В базисе \((u_1, u_2)\) матрица ограничения будет \(\begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}\).
 +
 +==== Шаг 4. Объединение базисов ====
 +Объединяем ортонормированные базисы из шагов 2 и 3. Получим канонический базис всего пространства. В этом базисе матрица оператора – блочно-диагональная с блоками \(1\), \(-1\) и \(R_{\varphi}\).
 +
 +==== Пример: матрица из задачи 46.6(б) ====
 +
 +Матрица \(A = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1&2\\2&2&-1\\-1&2&2\end{pmatrix}\).
 +
 +* Проверка: \(A^T A = I\), \(\det A = 1\).
 +* Характеристический многочлен: \(\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)(\lambda^2 - \lambda + 1)\). Корни: \(\lambda_1 = 1\), \(\lambda_{2,3} = e^{\pm i\pi/3}\).
 +* Для \(\lambda=1\): собственный вектор \((1,1,1)\), нормируем \(e_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\).
 +* Пара \(e^{\pm i\pi/3}\) даёт поворот на \(60^\circ\) в плоскости, ортогональной \(e_1\). Выбираем любой ортонормированный базис этой плоскости, например \(e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)\), \(e_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)\). Вычисляем образы:
 +\[
 +A e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1) = \frac12 e_2 + \frac{\sqrt{3}}{2} e_3,\quad
 +A e_3 = -\frac{\sqrt{3}}{2} e_2 + \frac12 e_3.
 +\]
 +* Каноническая матрица в базисе \(\{e_1,e_2,e_3\}\):
 +\[
 +\begin{pmatrix}
 +1 & 0 & 0 \\
 +0 & \cos60^\circ & -\sin60^\circ \\
 +0 & \sin60^\circ & \cos60^\circ
 +\end{pmatrix}
 += \begin{pmatrix}
 +1 & 0 & 0 \\
 +0 & \frac12 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
 +0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac12
 +\end{pmatrix}.
 +\]
 +
 +==== Примечания ====
 +* Если оператор задан в эрмитовом пространстве \(\mathbb{C}^n\), то канонический базис составляется из собственных векторов (все собственные значения по модулю 1), матрица диагональна: \(\operatorname{diag}(e^{i\varphi_1}, \dots, e^{i\varphi_n})\).
 +* В вещественном случае удобнее работать с вещественными векторами, поэтому пары комплексно-сопряжённых собственных значений заменяются вещественными блоками \(2\times2\).