math:46.6

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
math:46.6 [2026/05/18 06:19] – [Канонический базис и матрица] rootmath:46.6 [2026/05/18 06:20] (текущий) – [Пример: матрица из задачи 46.6(б)] root
Строка 211: Строка 211:
 * Для \(\lambda=1\): собственный вектор \((1,1,1)\), нормируем \(e_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\). * Для \(\lambda=1\): собственный вектор \((1,1,1)\), нормируем \(e_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\).
 * Пара \(e^{\pm i\pi/3}\) даёт поворот на \(60^\circ\) в плоскости, ортогональной \(e_1\). Выбираем любой ортонормированный базис этой плоскости, например \(e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)\), \(e_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)\). Вычисляем образы: * Пара \(e^{\pm i\pi/3}\) даёт поворот на \(60^\circ\) в плоскости, ортогональной \(e_1\). Выбираем любой ортонормированный базис этой плоскости, например \(e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)\), \(e_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)\). Вычисляем образы:
-  \[ +\[ 
-  A e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1) = \frac12 e_2 + \frac{\sqrt{3}}{2} e_3,\quad +A e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1) = \frac12 e_2 + \frac{\sqrt{3}}{2} e_3,\quad 
-  A e_3 = -\frac{\sqrt{3}}{2} e_2 + \frac12 e_3. +A e_3 = -\frac{\sqrt{3}}{2} e_2 + \frac12 e_3. 
-  \]+\]
 * Каноническая матрица в базисе \(\{e_1,e_2,e_3\}\): * Каноническая матрица в базисе \(\{e_1,e_2,e_3\}\):
-  \[ +\[ 
-  \begin{pmatrix} +\begin{pmatrix} 
-  1 & 0 & 0 \\ +1 & 0 & 0 \\ 
-  0 & \cos60^\circ & -\sin60^\circ \\ +0 & \cos60^\circ & -\sin60^\circ \\ 
-  0 & \sin60^\circ & \cos60^\circ +0 & \sin60^\circ & \cos60^\circ 
-  \end{pmatrix} +\end{pmatrix} 
-  = \begin{pmatrix} += \begin{pmatrix} 
-  1 & 0 & 0 \\ +1 & 0 & 0 \\ 
-  0 & \frac12 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ +0 & \frac12 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 
-  0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac12 +0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac12 
-  \end{pmatrix}. +\end{pmatrix}. 
-  \]+\]
  
 ==== Примечания ==== ==== Примечания ====
 * Если оператор задан в эрмитовом пространстве \(\mathbb{C}^n\), то канонический базис составляется из собственных векторов (все собственные значения по модулю 1), матрица диагональна: \(\operatorname{diag}(e^{i\varphi_1}, \dots, e^{i\varphi_n})\). * Если оператор задан в эрмитовом пространстве \(\mathbb{C}^n\), то канонический базис составляется из собственных векторов (все собственные значения по модулю 1), матрица диагональна: \(\operatorname{diag}(e^{i\varphi_1}, \dots, e^{i\varphi_n})\).
 * В вещественном случае удобнее работать с вещественными векторами, поэтому пары комплексно-сопряжённых собственных значений заменяются вещественными блоками \(2\times2\). * В вещественном случае удобнее работать с вещественными векторами, поэтому пары комплексно-сопряжённых собственных значений заменяются вещественными блоками \(2\times2\).