math:37.33

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия		 Предыдущая версия
math:37.33 [2026/05/18 04:06] – создано rootmath:37.33 [2026/05/18 04:22] (текущий) – [Общий алгоритм приведения кососимметрической билинейной формы к каноническому виду] root
Строка 68: Строка 68:
 B(x,y) = y_1 z_2 - y_2 z_1. B(x,y) = y_1 z_2 - y_2 z_1.
 \] \]
 +
 +====== Общий алгоритм приведения кососимметрической билинейной формы к каноническому виду ======
 +
 +**Кососимметрическая билинейная форма** $B(x,y)$ на конечномерном векторном пространстве $V$ (над полем характеристики $\ne2$) удовлетворяет $B(x,y)=-B(y,x)$. В подходящем базисе она приводится к **каноническому виду**:
 +\[
 +B(x,y) = x_1y_2 - x_2y_1 + x_3y_4 - x_4y_3 + \dots + x_{2k-1}y_{2k} - x_{2k}y_{2k-1},
 +\]
 +где $2k = \operatorname{rank} B$, а остальные координатные оси соответствуют нулевому значению.
 +
 +Алгоритм приведения (построения канонического базиса):
 +
 +1. **Проверка кососимметричности** (если не дано). Убедиться, что $B(x,x)=0$ для всех $x$ (эквивалентно $B(x,y)=-B(y,x)$).
 +
 +2. **Нахождение ранга**. Можно вычислить матрицу формы $A$ ($A_{ij}=B(e_i,e_j)$ в произвольном базисе) и найти её ранг. Ранг всегда чётен. Если ранг $=0$, форма нулевая.
 +
 +3. **Построение канонического базиса** (индуктивный процесс):
 +   - Выбрать любой вектор $e_1$ такой, что существует $e_2$ с $B(e_1,e_2)\ne0$.
 +   - Подобрать $e_2$ так, чтобы $B(e_1,e_2)=1$ (нормировка: разделить на $B(e_1,\tilde e_2)$).
 +   - Рассмотреть подпространство $U = \{x\in V\mid B(e_1,x)=B(e_2,x)=0\}$ (косоортогональное дополнение к $\langle e_1,e_2\rangle$). В $U$ ограничение $B$ снова кососимметрично.
 +   - Перейти к шагу 1 для $U$ (рекурсивно). В результате получим пары $(e_1,e_2), (e_3,e_4), \dots, (e_{2k-1},e_{2k})$, где $B(e_{2i-1}, e_{2i})=1$, а все остальные $B(e_i,e_j)=0$.
 +   - Оставшиеся базисные векторы (если $\dim V > 2k$) добавляются произвольно, они лежат в ядре формы.
 +
 +4. **Замена переменных**. Если нужно перейти от старых координат $x$ к новым $y$, то матрица перехода $P$ (столбцы – координаты $e_1,\dots,e_n$) даёт:
 +\[
 +B(x,y) = (P^{-1}x)^T \tilde A (P^{-1}y), \quad \tilde A = P^T A P,
 +\]
 +где $\tilde A$ – блочно-диагональная матрица с блоками $\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}$ и нулями. Часто проще сразу выразить новые переменные через старые из системы линейных уравнений, задающей $B$ в каноническом виде.
 +
 +**Пример** (задача 37.33а):
 +Матрица $A = \begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&2\\1&-2&0\end{pmatrix}$. Ранг = 2.
 +Выбираем $e_1=(1,0,0)$. Ищем $e_2$: $B(e_1,e_2)=1$. В качестве пробного $\tilde e_2=(0,1,0)$ даёт $B(e_1,\tilde e_2)=1$, поэтому берём $e_2=(0,1,0)$. Далее $U$ – решения $B(e_1,x)=0$, $B(e_2,x)=0$. Из системы находим $x=(2,1,1)$ – один вектор, он образует ядро. Добавляем $e_3=(2,1,1)$. Получаем канонический базис $(e_1,e_2,e_3)$.
 +
 +**Важное замечание:** характеристический многочлен здесь не используется, так как собственные значения кососимметрической матрицы либо нули, либо чисто мнимые и не определяют канонический вид (различные ненулевые значения $c$ в блоке $\begin{pmatrix}0&c\\-c&0\end{pmatrix}$ приводятся к $c=1$ масштабированием базиса). Единственный инвариант – ранг (и пфаффиан для чётного ранга, но над $\mathbb{R}$ он сводится к знаку).