math:36.3

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

math:36.3 [2026/04/09 03:36] – создано rootmath:36.3 [2026/04/09 03:38] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-**Задача 36.3.**   +===== Задача 36.3 ===== 
-Пусть линейное отображение \(A: V \to W\) в базисах \((e_1, e_2, e_3)\) пространства \(V\) и \((f_1, f_2)\) пространства \(W\) имеет матрицу   + 
-\[+Пусть линейное отображение $A: V \to W$ в базисах $(e_1, e_2, e_3)$ пространства $V$ и $(f_1, f_2)$ пространства $W$ имеет матрицу 
 +$$
 \begin{pmatrix}  \begin{pmatrix} 
 0 & 1 & 2 \\  0 & 1 & 2 \\ 
 3 & 4 & 5  3 & 4 & 5 
 \end{pmatrix}. \end{pmatrix}.
-\]   +$$ 
-Найти матрицу отображения \(A\) в базисах   +Найти матрицу отображения $A$ в базисах 
-\((e_1,\; e_1+e_2,\; e_1+e_2+e_3)\) и \((f_1,\; f_1+f_2)\).+$(e_1,\; e_1+e_2,\; e_1+e_2+e_3)$ и $(f_1,\; f_1+f_2)$.
  
---- +===== Решение =====
- +
-**Решение.**+
  
 1. **Обозначения и формулы.**   1. **Обозначения и формулы.**  
-   Пусть старые базисы:   +Старые базисы: $\mathbf{e} = (e_1,e_2,e_3)$ в $V$, $\mathbf{f} = (f_1,f_2)$ в $W$.   
-   \( \mathbf{e} = (e_1,e_2,e_3) \) в \(V\), \( \mathbf{f} = (f_1,f_2) \) в \(W\).   +Матрица отображения в этих базисах – $A$ (размера $2 \times 3$).   
-   Матрица отображения в этих базисах – \(A\) (размера \(2 \times 3\)).   +Новые базисы:   
-   Новые базисы:   +$\mathbf{e}' = (e_1', e_2', e_3')$ с $e_1' = e_1,\; e_2' = e_1+e_2,\; e_3' = e_1+e_2+e_3$;   
-   \(\mathbf{e}' = (e_1', e_2', e_3')\) с \(e_1' = e_1,\; e_2' = e_1+e_2,\; e_3' = e_1+e_2+e_3\);   +$\mathbf{f}' = (f_1', f_2')$ с $f_1' = f_1,\; f_2' = f_1+f_2$.
-   \(\mathbf{f}' = (f_1', f_2')\) с \(f_1' = f_1,\; f_2' = f_1+f_2\).  +
  
-   Матрица перехода от нового базиса к старому в \(V\) (столбцы – координаты новых векторов в старом базисе) имеет вид   +Матрица перехода от нового базиса к старому в $V$ (столбцы – координаты новых векторов в старом базисе): 
-   \[ +$$ 
-   Q = \begin{pmatrix} +Q = \begin{pmatrix} 
-   1 & 1 & 1 \\ +1 & 1 & 1 \\ 
-   0 & 1 & 1 \\ +0 & 1 & 1 \\ 
-   0 & 0 & 1 +0 & 0 & 1 
-   \end{pmatrix}. +\end{pmatrix}. 
-   \]   +$$ 
-   Матрица перехода от нового базиса к старому в \(W\):   +Матрица перехода от нового базиса к старому в $W$: 
-   \[ +$$ 
-   P = \begin{pmatrix} +P = \begin{pmatrix} 
-   1 & 1 \\ +1 & 1 \\ 
-   0 & 1 +0 & 1 
-   \end{pmatrix},\qquad  +\end{pmatrix},\qquad  
-   P^{-1} = \begin{pmatrix} +P^{-1} = \begin{pmatrix} 
-   1 & -1 \\ +1 & -1 \\ 
-   0 & 1 +0 & 1 
-   \end{pmatrix}. +\end{pmatrix}. 
-   \]  +$$
  
-   Матрица отображения в новых базисах вычисляется по формуле   +Матрица отображения в новых базисах: 
-   \[ +$$ 
-   A' = P^{-1} \cdot A \cdot Q. +A' = P^{-1} \cdot A \cdot Q. 
-   \]+$$
  
-2. **Вычисление \(A Q\).**   +2. **Вычисление $A Q$.**   
-   \[ +$$ 
-   A Q = \begin{pmatrix} +A Q = \begin{pmatrix} 
-   0 & 1 & 2 \\ +0 & 1 & 2 \\ 
-   3 & 4 & 5 +3 & 4 & 5 
-   \end{pmatrix} +\end{pmatrix} 
-   \begin{pmatrix} +\begin{pmatrix} 
-   1 & 1 & 1 \\ +1 & 1 & 1 \\ 
-   0 & 1 & 1 \\ +0 & 1 & 1 \\ 
-   0 & 0 & 1 +0 & 0 & 1 
-   \end{pmatrix} +\end{pmatrix} 
-   = \begin{pmatrix} += \begin{pmatrix} 
-   0\cdot1+1\cdot0+2\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot1+2\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot1+2\cdot1 \\ +0 & 1 & 3 \\ 
-   3\cdot1+4\cdot0+5\cdot0 & 3\cdot1+4\cdot1+5\cdot0 & 3\cdot1+4\cdot1+5\cdot1 +3 & 7 & 12 
-   \end{pmatrix} +\end{pmatrix}. 
-   = \begin{pmatrix} +$$
-   0 & 1 & 3 \\ +
-   3 & 7 & 12 +
-   \end{pmatrix}. +
-   \]+
  
-3. **Умножение на \(P^{-1}\).**   +3. **Умножение на $P^{-1}$.**   
-   \[ +$$ 
-   A' = \begin{pmatrix} +A' = \begin{pmatrix} 
-   1 & -1 \\ +1 & -1 \\ 
-   0 & 1 +0 & 1 
-   \end{pmatrix} +\end{pmatrix} 
-   \begin{pmatrix} +\begin{pmatrix} 
-   0 & 1 & 3 \\ +0 & 1 & 3 \\ 
-   3 & 7 & 12 +3 & 7 & 12 
-   \end{pmatrix} +\end{pmatrix} 
-   = \begin{pmatrix} += \begin{pmatrix} 
-   1\cdot0 + (-1)\cdot3 & 1\cdot1 + (-1)\cdot7 & 1\cdot3 + (-1)\cdot12 \\ +-3 & -6 & -9 \\ 
-   0\cdot0 + 1\cdot3 & 0\cdot1 + 1\cdot7 & 0\cdot3 + 1\cdot12 +3 & 7 & 12 
-   \end{pmatrix} +\end{pmatrix}. 
-   = \begin{pmatrix} +$$
-   -3 & -6 & -9 \\ +
-   3 & 7 & 12 +
-   \end{pmatrix}. +
-   \]+
  
 4. **Проверка (на примере первого базисного вектора).**   4. **Проверка (на примере первого базисного вектора).**  
-   \(e_1' = e_1\). Образ: \(A(e_1) = 0\cdot f_1 + 3\cdot f_2 = 3f_2\).   +$e_1' = e_1$. Образ: $A(e_1) = 0\cdot f_1 + 3\cdot f_2 = 3f_2$.   
-   В новом базисе \(W\): \(3f_2 = 3(f_2' - f_1') = -3f_1' + 3f_2'\), что даёт координаты \((-3,3)\).   +В новом базисе $W$: $3f_2 = 3(f_2' - f_1') = -3f_1' + 3f_2'$, что даёт координаты $(-3,3)$.   
-   Первый столбец \(A'\) – \((-3,3)^\mathsf{T}\) – совпадает.+Первый столбец $A'$ – $(-3,3)^\mathsf{T}$ – совпадает.
  
 5. **Ответ.**   5. **Ответ.**  
-   \[ +$$ 
-   \boxed{ +\boxed{ 
-   \begin{pmatrix} +\begin{pmatrix} 
-   -3 & -6 & -9 \\ +-3 & -6 & -9 \\ 
-   3 & 7 & 12 +3 & 7 & 12 
-   \end{pmatrix} +\end{pmatrix} 
-   } +} 
-   \]+$$