math:35.7

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Следующая версия		 Предыдущая версия
math:35.7 [2026/03/30 05:39] – создано rootmath:35.7 [2026/03/30 05:43] (текущий) – root
Строка 11: Строка 11:
  
 г) многочлены, имеющие данный простой корень \(\alpha \in \mathbb{R}\). г) многочлены, имеющие данный простой корень \(\alpha \in \mathbb{R}\).
- 
---- 
  
 === Решение === === Решение ===
Строка 21: Строка 19:
  
 * **Проверка на подпространство:**   * **Проверка на подпространство:**  
-  Если \(p(\alpha)=0\) и \(q(\alpha)=0\), то \((p+q)(\alpha)=0\) и \((cp)(\alpha)=0\). Следовательно, \(V\) — подпространство.+Если \(p(\alpha)=0\) и \(q(\alpha)=0\), то \((p+q)(\alpha)=0\) и \((cp)(\alpha)=0\). Следовательно, \(V\) — подпространство.
  
 * **Базис и размерность:**   * **Базис и размерность:**  
-  Любой многочлен из \(V\) делится на \((x-\alpha)\). Базис можно выбрать в виде   +Любой многочлен из \(V\) делится на \((x-\alpha)\). Базис можно выбрать в виде   
-  \[ +\[ 
-  (x-\alpha),\ (x-\alpha)x,\ (x-\alpha)x^2,\ \ldots,\ (x-\alpha)x^{n-1}. +(x-\alpha),\ (x-\alpha)x,\ (x-\alpha)x^2,\ \ldots,\ (x-\alpha)x^{n-1}. 
-  \]   +\]   
-  Эти многочлены линейно независимы и порождают \(V\). Количество элементов — \(n\).   +Эти многочлены линейно независимы и порождают \(V\). Количество элементов — \(n\).   
-  Размерность \(\dim V = n\).+Размерность \(\dim V = n\).
  
 === б) === === б) ===
Строка 36: Строка 34:
  
 * **Проверка на подпространство:**   * **Проверка на подпространство:**  
-  Условие \(p(\alpha)=0\) является линейным условием на коэффициенты (комплексным, но оно распадается на два вещественных линейных уравнения, так как \(p(\alpha)=0\) означает равенство нулю действительной и мнимой частей). Следовательно, \(W\) — подпространство.+Условие \(p(\alpha)=0\) является линейным условием на коэффициенты (комплексным, но оно распадается на два вещественных линейных уравнения: равенство нулю действительной и мнимой частей). Следовательно, \(W\) — подпространство.
  
 * **Базис и размерность:**   * **Базис и размерность:**  
-  Так как коэффициенты многочлена действительны, то вместе с корнем \(\alpha\) он обязательно имеет и сопряжённый корень \(\overline{\alpha}\). Минимальный многочлен с действительными коэффициентами, обращающийся в нуль в \(\alpha\), есть   +Так как коэффициенты многочлена действительны, то вместе с корнем \(\alpha\) он обязательно имеет и сопряжённый корень \(\overline{\alpha}\). Минимальный многочлен с действительными коэффициентами, обращающийся в нуль в \(\alpha\), есть   
-  \[ +\[ 
-  (x-\alpha)(x-\overline{\alpha}) = x^2 - 2a x + (a^2+b^2). +(x-\alpha)(x-\overline{\alpha}) = x^2 - 2a x + (a^2+b^2). 
-  \]   +\]   
-  Поэтому каждый многочлен из \(W\) делится на этот квадратичный трёхчлен. Следовательно,   +Поэтому каждый многочлен из \(W\) делится на этот квадратичный трёхчлен. Следовательно,   
-  \[ +\[ 
-  W = \{ (x^2 - 2a x + a^2+b^2) \cdot q(x) \mid q(x) \in \mathbb{R}[x]_{n-2} \}. +W = \{ (x^2 - 2a x + a^2+b^2) \cdot q(x) \mid q(x) \in \mathbb{R}[x]_{n-2} \}. 
-  \]   +\]   
-  Базис:   +Базис:   
-  \[ +\[ 
-  (x^2-2ax+a^2+b^2),\ (x^2-2ax+a^2+b^2)x,\ \ldots,\ (x^2-2ax+a^2+b^2)x^{n-2}. +(x^2-2ax+a^2+b^2),\ (x^2-2ax+a^2+b^2)x,\ \ldots,\ (x^2-2ax+a^2+b^2)x^{n-2}. 
-  \]   +\]   
-  Количество элементов — \(n-1\) (если \(n \ge 1\); при \(n=0\) или \(n=1\) пространство состоит только из нулевого многочлена, размерность 0, что согласуется с формулой \(n-1\) при \(n=1\) даёт 0).   +Количество элементов — \(n-1\) (при \(n=0\) или \(n=1\) пространство состоит только из нулевого многочлена, размерность 0).   
-  Размерность \(\dim W = n-1\).+Размерность \(\dim W = n-1\).
  
 === в) === === в) ===
Строка 59: Строка 57:
  
 * **Проверка на подпространство:**   * **Проверка на подпространство:**  
-  Каждое условие \(p(\alpha_i)=0\) линейно, поэтому их совместное выполнение задаёт подпространство.+Каждое условие \(p(\alpha_i)=0\) линейно, поэтому их совместное выполнение задаёт подпространство.
  
 * **Базис и размерность:**   * **Базис и размерность:**  
-  Многочлены из \(U\) делятся на произведение \((x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k)\). Если \(k \le n+1\), то   +Многочлены из \(U\) делятся на произведение \((x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k)\). Если \(k \le n+1\), то   
-  \[ +\[ 
-  U = \{ (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k) \cdot q(x) \mid q(x) \in \mathbb{R}[x]_{n-k} \}. +U = \{ (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k) \cdot q(x) \mid q(x) \in \mathbb{R}[x]_{n-k} \}. 
-  \]   +\]   
-  Базис:   +Базис:   
-  \[ +\[ 
-  (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k),\ (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k)\,x,\ \ldots,\ (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k)\,x^{n-k}. +(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k),\ (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k)\,x,\ \ldots,\ (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k)\,x^{n-k}. 
-  \]   +\]   
-  Количество элементов — \(n+1-k\) (при \(k \le n+1\)). Если \(k > n+1\), то только нулевой многочлен, размерность 0.   +Количество элементов — \(n+1-k\). Если \(k > n+1\), то только нулевой многочлен, размерность 0.   
-  Размерность \(\dim U = \max(0,\, n+1-k)\).+Размерность \(\dim U = \max(0,\, n+1-k)\).
  
 === г) === === г) ===
Строка 78: Строка 76:
  
 * **Проверка на подпространство:**   * **Проверка на подпространство:**  
-  Возьмём \(p(x)=x-\alpha\) и \(q(x)=(x-\alpha)(x-\alpha-1)\). Оба имеют простой корень \(\alpha\). Их сумма   +Возьмём \(p(x)=x-\alpha\) и \(q(x)=(x-\alpha)(x-\alpha-1)\). Оба имеют простой корень \(\alpha\). Их сумма   
-  \[ +\[ 
-  p+q = (x-\alpha) + (x-\alpha)(x-\alpha-1) = (x-\alpha)^2 +p+q = (x-\alpha) + (x-\alpha)(x-\alpha-1) = (x-\alpha)^2 
-  \]   +\]   
-  имеет корень \(\alpha\) кратности 2, т.е. не является простым. Следовательно, множество не замкнуто относительно сложения и не является подпространством.+имеет корень \(\alpha\) кратности 2, т.е. не является простым. Следовательно, множество не замкнуто относительно сложения и не является подпространством.
  
 --- ---