math:2-11

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
math:2-11 [2023/05/09 18:47] – rootmath:2-11 [2023/05/10 07:03] (текущий) – [Построить сингулярное разложение оператора $A:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}$] root
Строка 1: Строка 1:
-==== 46.16. ====+===== 46.16. =====
 Представить в виде произведения положительного самосопряжённого Представить в виде произведения положительного самосопряжённого
 и ортогонального операторов оператор, заданный в некотором ортонормированном и ортогонального операторов оператор, заданный в некотором ортонормированном
 базисе матрицей: базисе матрицей:
  
-=== а) ===+==== а) ====
 $$A=\left(\begin{array}{cc} $$A=\left(\begin{array}{cc}
 2 & -1\\ 2 & -1\\
Строка 79: Строка 79:
  
  
-=== б) ===+==== б) ====
 $$A=\left(\begin{array}{cc} $$A=\left(\begin{array}{cc}
 1 & -4\\ 1 & -4\\
Строка 182: Строка 182:
 \end{array}\right)$$ \end{array}\right)$$
  
-==== Построить сингулярное разложение оператора $A:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}$ ====+===== Построить сингулярное разложение оператора $A:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}$ =====
  
 $$A=\left(\begin{array}{ccc} $$A=\left(\begin{array}{ccc}
Строка 332: Строка 332:
 -1+\sqrt{2} & 1 -1+\sqrt{2} & 1
 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
-2+\sqrt{2} & 0 & 0\\ +\sqrt{2+\sqrt{2}} & 0 & 0\\ 
-0 & 2-\sqrt{2} & 0+0 & \sqrt{2-\sqrt{2}} & 0
 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
 \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2}\\
Строка 370: Строка 370:
 -1-\sqrt{2} & 1 & 1\\ -1-\sqrt{2} & 1 & 1\\
 1 & -\sqrt{2} & 1\\ 1 & -\sqrt{2} & 1\\
-1 & 1 & -1-\sqrt{2}\\+1 & 1 & -1-\sqrt{2}\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 377: Строка 377:
 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\
 0 & -\sqrt{2} & 1\\ 0 & -\sqrt{2} & 1\\
-0 & 1 & -1-\sqrt{2}\\+0 & 1 & -1-\sqrt{2}\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 \sqrt{2} & 1 & 0\\ \sqrt{2} & 1 & 0\\
Строка 390: Строка 390:
 -1+\sqrt{2} & 1 & 1\\ -1+\sqrt{2} & 1 & 1\\
 1 & \sqrt{2} & 1\\ 1 & \sqrt{2} & 1\\
-1 & 1 & -1+\sqrt{2}\\+1 & 1 & -1+\sqrt{2}\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 397: Строка 397:
 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\
 0 & \sqrt{2} & 1\\ 0 & \sqrt{2} & 1\\
-0 & 1 & -1+\sqrt{2}\\+0 & 1 & -1+\sqrt{2}\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 -\sqrt{2} & 1 & 0\\ -\sqrt{2} & 1 & 0\\
Строка 410: Строка 410:
 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\
 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 1\\
-1 & 1 & 1\\+1 & 1 & 1\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
Строка 417: Строка 417:
 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\
 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 1\\
-1 & 1 & 1\\+1 & 1 & 1\\ \hline
 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\
 -1 & 0 & 1 -1 & 0 & 1
-\end{array}\right)$$ +\end{array}\right).$$
- +
-$$\left(\begin{array}{ccc} +
-1 & 1 & 1\\ +
-1 & 2 & 1\\ +
-1 & 1 & 1 +
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} +
-0 & 1 & 1\\ +
-0 & 2 & 1\\ +
-0 & 1 & 1\\ +
-1 & 0 & 0\\ +
-0 & 1 & 0\\ +
--1 & 0 & 1 +
-\end{array}\right)$$+
  
 Получили базис $$v_{1}=\frac{1}{2}(1,\sqrt{2},1)^{T};v_{2}=\frac{1}{2}(1,-\sqrt{2},1)^{T};v_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^{T},$$ Получили базис $$v_{1}=\frac{1}{2}(1,\sqrt{2},1)^{T};v_{2}=\frac{1}{2}(1,-\sqrt{2},1)^{T};v_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^{T},$$
Строка 476: Строка 463:
 \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}} & \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}} \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}} & \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}}
 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 1\\ +\sqrt{2+\sqrt{2}} & 0 & 0\\ 
-0 & 1 & 0+0 & \sqrt{2-\sqrt{2}} & 0
 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
 \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2}\\