math:2-02

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
math:2-02 [2023/02/15 18:06] – [39.16.] rootmath:2-02 [2024/02/14 07:08] (текущий) – [39.15.] root
Строка 9: Строка 9:
 и $(f'_{1},f'_{2})=(f_{1},f_{1}+f_{2})$. и $(f'_{1},f'_{2})=(f_{1},f_{1}+f_{2})$.
 ----- -----
- +[[math:36-3|Решение]]
-Переход от $(e_{1},e_{2},e_{3})$ к $(e'_{1},e'_{2},e'_{3})$ задается +
-матрицей перехода  +
-$$ +
-T_{1}=\left(\begin{array}{ccc} +
-1 & 1 & 1\\ +
-0 & 1 & 1\\ +
-0 & 0 & 1 +
-\end{array}\right),$$ +
-а переход от $(f_{1},f_{2})$ к $(f'_{1},f'_{2})$ задается матрицей +
-перехода  +
-$$T_{2}=\left(\begin{array}{cc} +
-1 & 1\\ +
-0 & 1 +
-\end{array}\right).$$ +
-Тогда линейное отображение $Ax=y,$ где $x\in V,y\in U$ перепишем +
-в виде $Ax=AT_{1}x'=y=T_{2}y'.$ Следовательно, из $T_{2}y'=AT_{1}x'$ +
-умножая слева на $T_{2}^{-1}$ получим $y'=T_{2}^{-1}AT_{1}x'=A'x'$. +
-Т.о.  +
-$$ +
-A'=T_{2}^{-1}AT_{1}=\left(\begin{array}{cc} +
-1 & 1\\ +
-0 & 1 +
-\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} +
-0 & 1 & 2\\ +
-3 & 4 & 5 +
-\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} +
-1 & 1 & 1\\ +
-0 & 1 & 1\\ +
-0 & 0 & 1 +
-\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} +
-1 & -1\\ +
-0 & 1 +
-\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} +
-0 & 1 & 2\\ +
-3 & 4 & 5 +
-\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} +
-1 & 1 & 1\\ +
-0 & 1 & 1\\ +
-0 & 0 & 1 +
-\end{array}\right)= +
-$$ +
-$$ +
-\left(\begin{array}{ccc} +
--3 & -3 & -3\\ +
-3 & 4 & 5 +
-\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} +
-1 & 1 & 1\\ +
-0 & 1 & 1\\ +
-0 & 0 & 1 +
-\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} +
--3 & -6 & -9\\ +
-3 & 7 & 12 +
-\end{array}\right). +
-$$+
  
 ==== 39.15. ==== ==== 39.15. ====
Строка 71: Строка 17:
 $(x_{1},x_{2},x_{3})\to(x_{1},x_{1}+2x_{2},x_{2}+3x_{3})$ в пространстве $(x_{1},x_{2},x_{3})\to(x_{1},x_{1}+2x_{2},x_{2}+3x_{3})$ в пространстве
 $\mathbb{R}^{3}$ в базисе из единичных векторов;  $\mathbb{R}^{3}$ в базисе из единичных векторов; 
- 
-$$A=\left(\begin{array}{ccc} 
-1 & 0 & 0\\ 
-1 & 2 & 0\\ 
-0 & 1 & 3 
-\end{array}\right).$$ 
  
 === б) ===  === б) === 
 поворота плоскости на угол $\alpha$ в произвольном ортонормированном поворота плоскости на угол $\alpha$ в произвольном ортонормированном
 базисе;  базисе; 
- 
-$x'=x\cos\alpha-y\sin\alpha$ 
- 
-$y'=x\sin\alpha+y\cos\alpha$ 
- 
-следовательно 
- 
-$$A=\left(\begin{array}{cc} 
-\cos\alpha & -\sin\alpha\\ 
-\sin\alpha & \cos\alpha 
-\end{array}\right)$$ 
  
 === л) === === л) ===
Строка 97: Строка 26:
 $(1,x,x^{2},\ldots,x^{n})$  $(1,x,x^{2},\ldots,x^{n})$ 
  
-Многочлен $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots+a_{n}x^{n}$ после +-----
-дифференцирования перейдёт в $f'(x)=a_{1}+2a_{2}x+\ldots+na_{n}x^{n-1}$ +
- +
-т.е. $A(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})^{T}\mapsto(a_{1},2a_{2},\ldots,na_{n},0)^{T}$, +
-тогда матрица перехода  +
- +
-$$ +
-AX=\left(\begin{array}{cccccc} +
-0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ +
-0 & 0 & 2 & \cdots & 0 & 0\\ +
-\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ +
-0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & n\\ +
-0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 +
-\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} +
-a_{0}\\ +
-a_{1}\\ +
-a_{2}\\ +
-\vdots\\ +
-a_{n} +
-\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} +
-a_{1}\\ +
-2a_{2}\\ +
-\vdots\\ +
-na_{n}\\ +
-0 +
-\end{array}\right).$$+
  
 +[[math:39-15|Решение]]
 ==== 39.16. ====  ==== 39.16. ==== 
 Доказать, что в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ существует единственный Доказать, что в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ существует единственный
Строка 129: Строка 34:
 соответственно в векторы $(1,1,1),(0,1,0),(1,0,1)$, и найти матрицу соответственно в векторы $(1,1,1),(0,1,0),(1,0,1)$, и найти матрицу
 этого оператора в базисе, состоящем из единичных векторов. этого оператора в базисе, состоящем из единичных векторов.
 +-----
 +[[math:39-16|Решение]]
  
-Составляем матричное уравнение 
- 
-$$ 
-A\left(\begin{array}{ccc} 
-1 & 0 & 1\\ 
-1 & 1 & 0\\ 
-1 & 0 & 2 
-\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 
-1 & 0 & 1\\ 
-1 & 1 & 0\\ 
-1 & 0 & 1 
-\end{array}\right) 
-$$ 
- 
-$$ 
-A=\left(\begin{array}{ccc} 
-1 & 0 & 1\\ 
-1 & 1 & 0\\ 
-1 & 0 & 1 
-\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 
-1 & 0 & 1\\ 
-1 & 1 & 0\\ 
-1 & 0 & 2 
-\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 
-1 & 0 & 1\\ 
-1 & 1 & 0\\ 
-1 & 0 & 1 
-\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 
-2 & 0 & -1\\ 
--2 & 1 & 1\\ 
--1 & 0 & 1 
-\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 
-1 & 0 & 0\\ 
-0 & 1 & 0\\ 
-1 & 0 & 0 
-\end{array}\right),$$ 
- 
-где обратную матрицу нашли при помощи преобразований: 
- 
-$$\left(\begin{array}{ccc|ccc|c|c} 
-1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & X & A_{1}\\ 
-1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & X & A_{2}\\ 
-1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & X & A_{3}\\ \hline 
-0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & X & A_{4}=A_{2}-A_{1}\\ 
-0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 &  & A_{5}=A_{3}-A_{1}\\ 
-1 & 0 & 0 & 2 & 0 & -1 &  & A_{6}=A_{1}-A_{5}\\ 
-0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 1 &  & A_{7}=A_{4}+A_{5} 
-\end{array}\right) 
-$$ 
- 
-/* 
-Второй вариант: Составляем матрицу перехода: 
- 
-$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 
-x_{1} & x_{2} & x_{3} & y_{1} & y_{2} & y_{3}\\ 
-1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 
-1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 
-1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccc} 
-1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 
-0 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1\\ 
-0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccccc} 
-1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 
-0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 
-0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 
-\end{array}\right)$$ 
- 
-$y_{1}=x_{1},$$y_{2}=x_{2},y_{3}=x_{1}-x_{2}$ 
- 
-$$A=\left(\begin{array}{ccc} 
-1 & 0 & 1\\ 
-0 & 1 & -1\\ 
-0 & 0 & 0 
-\end{array}\right)$$ 
- 
-$$\left(\begin{array}{ccc} 
-1 & 0 & 1\\ 
-1 & 1 & 0\\ 
-1 & 0 & 2 
-\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 
-1 & 0 & 1\\ 
-0 & 1 & -1\\ 
-0 & 0 & 0 
-\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 
-1 & 0 & 1\\ 
-1 & 1 & 0\\ 
-1 & 0 & 1 
-\end{array}\right).$$ 
-*/ 
 ==== 39.21. ====  ==== 39.21. ==== 
 Пусть линейный оператор в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ имеет Пусть линейный оператор в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ имеет
Строка 233: Строка 50:
 ----- -----
  
-Найдём матрицу перехода из базиса $E_{1}$ в $E_{2}$:+[[math:39-21|Решение]]
  
-$$\left(\begin{array}{ccc|ccc|c|c} 
-8 & -16 & 9 & 1 & 3 & 2 & X & A_{1}\\ 
--6 & 7 & -3 & -2 & -1 & 1 & X & A_{2}\\ 
-7 & -13 & 7 & 1 & 2 & 2 & X & A_{3}\\ 
-1 & -6 & 4 & -1 & 1 & 3 & X & A_{4}=A_{3}+A_{2}\\ 
-1 & -3 & 2 & 0 & 1 & 0 & X & A_{5}=A_{1}-A_{3}\\ 
-0 & 8 & -7 & 1 & -5 & 2 & X & A_{6}=A_{3}-7A_{5}\\ 
-0 & -3 & 2 & -1 & 0 & 3 & X & A_{7}=A_{4}-A_{5}\\ 
-1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3 &  & A_{8}=A_{5}-A_{7}\\ 
-0 & 0 & -5 & -5 & -15 & 30 & X & A_{9}=3A_{6}+8A_{7}\\ 
-0 & 0 & 1 & 1 & 3 & -6 &  & A_{10}=-A_{9}/5\\ 
-0 & 3 & 0 & 3 & 6 & -15 & X & A_{11}=2A_{10}-A_{7}\\ 
-0 & 1 & 0 & 1 & 2 & -5 &  & A_{12}=A_{11}/3 
-\end{array}\right)$$ 
- 
-В итоге получили матрицу перехода от базиса $E_{1}$к базису $E_{2}$ 
-в виде 
- 
-$$T=\left(\begin{array}{ccc} 
-1 & 1 & -3\\ 
-1 & 2 & -5\\ 
-1 & 3 & -6 
-\end{array}\right).$$ 
- 
-Теперь переход к матрице оператора в базисе $E_{2}$  
- 
-$$A'=T^{-1}AT=\left(\begin{array}{ccc} 
-1 & 2 & 2\\ 
-3 & -1 & -2\\ 
-2 & -3 & 1 
-\end{array}\right).$$