Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math:2-01 [2024/02/14 06:43] – [35.19.] root
+++ math:2-01 [2024/02/14 07:00] (текущий) – [34.3.] root
@@ Строка 17: / Строка 17: @@
 -----
 [[math:34-12|Решение]]
+==== 35.2. ====
+Доказать, что следующие совокупности векторов пространства $F^{n}$, $F$ --- поле, образуют подпространства, и найти их базисы и размерности:
+а) векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты;
+б) векторы, у которых координаты с чётными номерами равны $0$;
+в) векторы, у которых координаты с чётными номерами равны между собой;
+г) векторы вида $(\alpha,\beta,\alpha,\beta,\ldots)$;
+д) векторы, являющиеся решениями однородной системы уравнений.
+==== 35.3. ====
+Выяснить, какие из следующих совокупностей матриц порядка $n$ над полем $F$ образуют подпространства в пространстве матриц $M_{n}(F)$, найти их базисы и размерности:
+а) все матрицы;
+б) симметрические матрицы;
+в) кососимметрические матрицы;
+г) невырожденные матрицы;
+д) вырожденные матрицы;
+е) матрицы со следом, равным нулю;
+ж) матрицы, перестановочные с данным множеством матриц (при вычислении базиса и размерности предположить, что данное множество матриц состоит из одной диагональной матрицы с различными диагональными элементами);
+з) матрицы $X$, удовлетворяющие условию $A_{i}X+XB_{i}$, где $A_{i},B_{i}$ --- заданный набор матриц.
+==== 35.4. ====
+Пусть $\mathbb{R}^{s}$ пространство всех функций, определенных на множестве $S$ и принимающих вещественные значения. Выяснить, какие из следующих совокупностей функций $f(x)\in\mathbb{R}^{s}$ составляют подпространство:
+а) функции, принимающие значение $a$ в данной точке $s\in S$;
+б) функции, принимающие значение $a4 во всех точках некоторого подмножества $T\subseteq S$;
+в) функции, обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке множества $S$;
+г) функции, имеющие предел a при $x\to\infty$ (при $S=\mathbb{R}$);
+д) функции, имеющие не более конечного числа точек разрыва (при $S=\mathbb{R}$).
+==== 35.5. ====
+Пусть $K^{\infty}$ пространство бесконечных последовательностей с элементами из поля $K$. Выяснить, какие из следующих совокупностей последовательностей составляют в $K^{\infty}$ подпространство:
+а) последовательности, в которых лишь конечное число элементов отлично от нуля;
+б) последовательности, в которых лишь конечное число элементов равно нулю;
+в) последовательности, в которых все элементы отличны от $1$.
@@ Строка 57: / Строка 111: @@
 [[math:35-19|Решение]]
+==== 35.22. ====
+Пусть $U$ --- подпространство кососимметрических матриц, $V$ --- подпространство верхнетреугольных матриц в $M_{n}(\mathbb{R})$.
+а) Доказать, что $U\oplus V=M_{n}(\mathbb{R})$.
+) Найти проекцию матриц $E_{ij}$ на $U$ и $V$.
+==== 34.1. ====
+Пусть $x,y$ --- векторы, а $\alpha,\beta$ --- скаляры. Доказать, что:
+а) $\alpha x=0$ тогда и только тогда, когда $\alpha=0$ или $x=0$;
+б) $\alpha x+\beta y=\beta x+\alpha y$ тогда и только тогда, когда $\alpha=\beta$ или $x=y$.
+==== 34.2. ====
+При каких значениях $\lambda$:
+а) из линейной независимости системы векторов $\left\{ a_{1},a_{2}\right\}$  вытекает линейная независимость системы $\left\{ \lambda a_{1}+a_{2},a_{1}+\lambda a_{2}\right\}$;
+б) из линейной независимости системы $\left\{ a_{1},\ldots,a_{2}\right\}$  вытекает линейная независимость системы $\left\{ a_{1}+a_{2},a_{2}+a_{3},\ldots,a_{n-1}+a_{n},a_{n}+\lambda a_{1}\right\}$?
+==== 34.3. ====
+Доказать линейную независимость над $\mathbb{R}$ систем функций:
+a) $\sin x,\cos x$;
+б) $1,\sin x,\cos x$;
+в) $\sin x,\sin2x,\ldots,\sin nx$;
+г) $1,\cos x,\cos2x,...,\cos nx$;
+д) $1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,...,\cos nx,\sin nx$;
+е) $1,\sin x,\sin^{2}x,\ldots,\sin^{n}x$;
+ж) $1,\cos x,\cos^{2}x,...,\cos^{n}x$.