math:2-01

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
math:2-01 [2024/02/14 06:41] – [35.18.] rootmath:2-01 [2024/02/14 07:00] (текущий) – [34.3.] root
Строка 17: Строка 17:
 ----- -----
 [[math:34-12|Решение]] [[math:34-12|Решение]]
 +
 +==== 35.2. ====
 +Доказать, что следующие совокупности векторов пространства $F^{n}$, $F$ --- поле, образуют подпространства, и найти их базисы и размерности: 
 +
 +а) векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты; 
 +
 +б) векторы, у которых координаты с чётными номерами равны $0$; 
 +
 +в) векторы, у которых координаты с чётными номерами равны между собой; 
 +
 +г) векторы вида $(\alpha,\beta,\alpha,\beta,\ldots)$; 
 +
 +д) векторы, являющиеся решениями однородной системы уравнений.
 +
 +==== 35.3. ====
 +Выяснить, какие из следующих совокупностей матриц порядка $n$ над полем $F$ образуют подпространства в пространстве матриц $M_{n}(F)$, найти их базисы и размерности: 
 +
 +а) все матрицы; 
 +
 +б) симметрические матрицы; 
 +
 +в) кососимметрические матрицы; 
 +
 +г) невырожденные матрицы; 
 +
 +д) вырожденные матрицы; 
 +
 +е) матрицы со следом, равным нулю; 
 +
 +ж) матрицы, перестановочные с данным множеством матриц (при вычислении базиса и размерности предположить, что данное множество матриц состоит из одной диагональной матрицы с различными диагональными элементами); 
 +
 +з) матрицы $X$, удовлетворяющие условию $A_{i}X+XB_{i}$, где $A_{i},B_{i}$ --- заданный набор матриц.
 +
 +==== 35.4. ====
 +Пусть $\mathbb{R}^{s}$ пространство всех функций, определенных на множестве $S$ и принимающих вещественные значения. Выяснить, какие из следующих совокупностей функций $f(x)\in\mathbb{R}^{s}$ составляют подпространство: 
 +
 +а) функции, принимающие значение $a$ в данной точке $s\in S$; 
 +
 +б) функции, принимающие значение $a4 во всех точках некоторого подмножества $T\subseteq S$; 
 +
 +в) функции, обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке множества $S$; 
 +
 +г) функции, имеющие предел a при $x\to\infty$ (при $S=\mathbb{R}$); 
 +
 +д) функции, имеющие не более конечного числа точек разрыва (при $S=\mathbb{R}$).
 +
 +==== 35.5. ==== 
 +Пусть $K^{\infty}$ пространство бесконечных последовательностей с элементами из поля $K$. Выяснить, какие из следующих совокупностей последовательностей составляют в $K^{\infty}$ подпространство: 
 +
 +а) последовательности, в которых лишь конечное число элементов отлично от нуля; 
 +
 +б) последовательности, в которых лишь конечное число элементов равно нулю; 
 +
 +в) последовательности, в которых все элементы отличны от $1$.
  
  
Строка 55: Строка 109:
  
 ----- -----
 +[[math:35-19|Решение]]
  
-Запишем матрицу и приведём её к диагональному виду +==== 35.22. ==== 
-$$ +Пусть $U$ --- подпространство кососимметрических матриц, $V$ --- подпространство верхнетреугольных матриц в $M_{n}(\mathbb{R})$.  
-\left(\begin{array}{ccccc} + 
-u_{1} & u_{2} & v_{1} & v_{2} & \boldsymbol{x}\\ +а) Доказать, что $U\oplus V=M_{n}(\mathbb{R})$.  
-1 & -1 & -1 & 2 & 4\\ + 
-1 & -2 & -1 & 2 & 2\\ +6) Найти проекцию матриц $E_{ij}$ на $U$ и $V$. 
-1 & 0 & 1 & 0 & 4\\ + 
-1 & 1 & -1 & 1 & 4 +==== 34.1. ====  
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccccc} +Пусть $x,y$ --- векторы, а $\alpha,\beta$ --- скаляры. Доказать, что:  
-1 & -1 & -1 & 2 & 4\\ + 
-0 & -1 & 0 & 0 & -2\\ +а) $\alpha x=0$ тогда и только тогда, когда $\alpha=0$ или $x=0$;  
-0 & 1 & 2 & -2 & 0\\ + 
-0 & 2 & 0 & -1 & 0 +б) $\alpha x+\beta y=\beta x+\alpha y$ тогда и только тогда, когда $\alpha=\beta$ или $x=y$.  
-\end{array}\right)\to + 
-$$ +==== 34.2. ==== 
-$$ +При каких значениях $\lambda$: 
-\left(\begin{array}{ccccc} + 
-1 & 0 & -1 & 2 & 6\\ +а) из линейной независимости системы векторов $\left\{ a_{1},a_{2}\right\}$  вытекает линейная независимость системы $\left\{ \lambda a_{1}+a_{2},a_{1}+\lambda a_{2}\right\}$;  
-0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ + 
-0 & 0 & 2 & -2 & -2\\ +б) из линейной независимости системы $\left\{ a_{1},\ldots,a_{2}\right\}$  вытекает линейная независимость системы $\left\{ a_{1}+a_{2},a_{2}+a_{3},\ldots,a_{n-1}+a_{n},a_{n}+\lambda a_{1}\right\}$? 
-0 & 0 & 0 & -1 & -4 + 
-\end{array}\right) +==== 34.3. ==== 
-\to +Доказать линейную независимость над $\mathbb{R}$ систем функций:  
-\left(\begin{array}{ccccc} + 
-1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ +a) $\sin x,\cos x$;  
-0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ + 
-0 & 0 & 1 & -1 & -1\\ +б) $1,\sin x,\cos x$;  
-0 & 0 & 0 & 1 & 4 + 
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccccc} +в) $\sin x,\sin2x,\ldots,\sin nx$;  
-u_{1} & u_{2} & v_{1} & v_{2} & \boldsymbol{x}\\ + 
-1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ +г) $1,\cos x,\cos2x,...,\cos nx$;  
-0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ + 
-0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ +д) $1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,...,\cos nx,\sin nx$; 
-0 & 0 & 0 & 1 & 4 + 
-\end{array}\right). +е) $1,\sin x,\sin^{2}x,\ldots,\sin^{n}x$; 
-$$ +
-в итоги получили, что $\mathbb{R}^{4}=U\oplus V$, а вектор $\boldsymbol{x}$ выражается через остальные как +
-$x=u_{1}+2u_{2}+3v_{1}+4v_{2}$, тогда его проекция на подпространство $U$ параллельно $V$ +
-$x|_{U}=u_{1}+2u_{2}=(1,2,0,0)$.+
  
 +ж) $1,\cos x,\cos^{2}x,...,\cos^{n}x$.