math:2-01

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
math:2-01 [2024/02/14 06:40] – [35.15.] rootmath:2-01 [2024/02/14 07:00] (текущий) – [34.3.] root
Строка 17: Строка 17:
 ----- -----
 [[math:34-12|Решение]] [[math:34-12|Решение]]
 +
 +==== 35.2. ====
 +Доказать, что следующие совокупности векторов пространства $F^{n}$, $F$ --- поле, образуют подпространства, и найти их базисы и размерности: 
 +
 +а) векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты; 
 +
 +б) векторы, у которых координаты с чётными номерами равны $0$; 
 +
 +в) векторы, у которых координаты с чётными номерами равны между собой; 
 +
 +г) векторы вида $(\alpha,\beta,\alpha,\beta,\ldots)$; 
 +
 +д) векторы, являющиеся решениями однородной системы уравнений.
 +
 +==== 35.3. ====
 +Выяснить, какие из следующих совокупностей матриц порядка $n$ над полем $F$ образуют подпространства в пространстве матриц $M_{n}(F)$, найти их базисы и размерности: 
 +
 +а) все матрицы; 
 +
 +б) симметрические матрицы; 
 +
 +в) кососимметрические матрицы; 
 +
 +г) невырожденные матрицы; 
 +
 +д) вырожденные матрицы; 
 +
 +е) матрицы со следом, равным нулю; 
 +
 +ж) матрицы, перестановочные с данным множеством матриц (при вычислении базиса и размерности предположить, что данное множество матриц состоит из одной диагональной матрицы с различными диагональными элементами); 
 +
 +з) матрицы $X$, удовлетворяющие условию $A_{i}X+XB_{i}$, где $A_{i},B_{i}$ --- заданный набор матриц.
 +
 +==== 35.4. ====
 +Пусть $\mathbb{R}^{s}$ пространство всех функций, определенных на множестве $S$ и принимающих вещественные значения. Выяснить, какие из следующих совокупностей функций $f(x)\in\mathbb{R}^{s}$ составляют подпространство: 
 +
 +а) функции, принимающие значение $a$ в данной точке $s\in S$; 
 +
 +б) функции, принимающие значение $a4 во всех точках некоторого подмножества $T\subseteq S$; 
 +
 +в) функции, обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке множества $S$; 
 +
 +г) функции, имеющие предел a при $x\to\infty$ (при $S=\mathbb{R}$); 
 +
 +д) функции, имеющие не более конечного числа точек разрыва (при $S=\mathbb{R}$).
 +
 +==== 35.5. ==== 
 +Пусть $K^{\infty}$ пространство бесконечных последовательностей с элементами из поля $K$. Выяснить, какие из следующих совокупностей последовательностей составляют в $K^{\infty}$ подпространство: 
 +
 +а) последовательности, в которых лишь конечное число элементов отлично от нуля; 
 +
 +б) последовательности, в которых лишь конечное число элементов равно нулю; 
 +
 +в) последовательности, в которых все элементы отличны от $1$.
  
  
Строка 46: Строка 100:
 ----- -----
  
-Для простоты рассмотрим сначала трёхмерный случай, тогда $u_{1}=\left(1,0,-1\right),u_{2}=\left(0,1,-1\right)$, +[[math:35-18|Решение]] 
-а в пространстве $V:v=(1,1,1).$ Составим матрицу: +==== 35.19. ==== 
- +Пусть в пространстве $\mathbb{R}^{4}$: 
-$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} +
-u_{1} & u_{2} & v & e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ \hline +
-1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ +
-0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ +
--1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 +
-\end{array}\right)\underset{\to}{(3)+(1)+(2)}\left(\begin{array}{ccc|ccc} +
-u_{1} & u_{2} & v & e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ \hline +
-1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ +
-0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ +
-0 & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 +
-\end{array}\right)\underset{\to}{(1)-\frac{1}{3}(3);(2)-\frac{1}{3}(3)}+
 $$ $$
 +U=\left\langle (1,1,1,1),(-1,-2,0,1)\right\rangle , V=\left\langle (-1,-1,1,-1),(2,2,0,1)\right\rangle .
 $$ $$
-\left(\begin{array}{ccc|ccc} +Доказать, что $\mathbb{R}^{4}=U\oplus V$, и найти проекцию вектора $\boldsymbol{x}=(4,2,4,4)$ на подпространство $U$ параллельно $V$.
-u_{1} & u_{2} & v & e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ \hline +
-1 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\ +
-0 & 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ +
-0 & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 +
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|ccc} +
-u_{1} & u_{2} & v & e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ \hline +
-1 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\ +
-0 & 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ +
-0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} +
-\end{array}\right).$$+
  
-В итоге $e_{1}=\frac{2}{3}u_{1}-\frac{1}{3}u_{2}+\frac{1}{3}v$; $e_{2}=-\frac{1}{3}u_{1}+\frac{2}{3}u_{2}+\frac{1}{3}v$; +----- 
-$e_{3}=-\frac{1}{3}u_{1}-\frac{1}{3}u_{2}+\frac{1}{3}v$+[[math:35-19|Решение]]
  
-Тогда проекция единичного вектора $e_{1}$ на пространство $U$ --- +==== 35.22. ==== 
-это его разложение на базисные вектора этого пространства, т.е. $(\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$. +Пусть $U$ --- подпространство кососимметрических матриц, $V$ --- подпространство верхнетреугольных матриц в $M_{n}(\mathbb{R})$. 
-На пространство $V$ --- $(\frac{1}{3})$+
  
-Рассмотрим теперь общий случай и выберем базис в пространстве $U$: +а) Доказать, что $U\oplus V=M_{n}(\mathbb{R})$. 
-$u_{1}=\left(1,0,\ldots,0,-1\right),u_{2}=\left(0,1,\ldots,0,-1\right),\ldots,u_{n-1}=\left(0,0,\ldots,1,-1\right)$ +
-и в пространстве $V$: $v=(1,1,\ldots,1,1)$. Тогда обобщая трёхмерный +
-случай, единичный вектор $e_{1}=\left(1,0,\ldots,0,0\right)\in\mathbb{R}^{n}$ +
-можно представить в виде:+
  
-$e_{1}=\left(1,0,\ldots,0,0\right)=\frac{n-1}{n}u_{1}-\frac{1}{n}\left(u_{2}+\ldots+u_{n-1}\right)+\frac{1}{n}v$ +6) Найти проекцию матриц $E_{ij}$ на $U$ и $V$.
-тогда для произвольного единичного вектора+
  
-$e_{k}=\frac{n-1}{n}u_{k}-\frac{1}{n}\left(\sum\limits_{i=1}^{n-1}u_{i}-u_{k}\right)+\frac{1}{n}v.$ +==== 34.1. ====  
 +Пусть $x,y$ --- векторы, а $\alpha,\beta$ --- скаляры. Доказать, что: 
  
-==== 35.19. ==== +а) $\alpha x=0$ тогда и только тогда, когда $\alpha=0$ или $x=0$; 
-Пусть в пространстве $\mathbb{R}^{4}$:  +
-$$ +
-U=\left\langle (1,1,1,1),(-1,-2,0,1)\right\rangle , V=\left\langle (-1,-1,1,-1),(2,2,0,1)\right\rangle . +
-$$ +
-Доказать, что $\mathbb{R}^{4}=U\oplus V$, и найти проекцию вектора $\boldsymbol{x}=(4,2,4,4)$ на подпространство $U$ параллельно $V$.+
  
------+б) $\alpha x+\beta y=\beta x+\alpha y$ тогда и только тогда, когда $\alpha=\beta$ или $x=y$. 
  
-Запишем матрицу и приведём её к диагональному виду +==== 34.2. ==== 
-$$ +При каких значениях $\lambda$: 
-\left(\begin{array}{ccccc} + 
-u_{1} & u_{2} & v_{1} & v_{2} & \boldsymbol{x}\\ +а) из линейной независимости системы векторов $\left\{ a_{1},a_{2}\right\}$  вытекает линейная независимость системы $\left\{ \lambda a_{1}+a_{2},a_{1}+\lambda a_{2}\right\}$;  
-1 & -1 & -1 & 2 & 4\\ + 
-1 & -2 & -1 & 2 & 2\\ +б) из линейной независимости системы $\left\{ a_{1},\ldots,a_{2}\right\}$  вытекает линейная независимость системы $\left\{ a_{1}+a_{2},a_{2}+a_{3},\ldots,a_{n-1}+a_{n},a_{n}+\lambda a_{1}\right\}$? 
-1 & 0 & 1 & 0 & 4\\ + 
-1 & 1 & -1 & 1 & 4 +==== 34.3. ==== 
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccccc} +Доказать линейную независимость над $\mathbb{R}$ систем функций:  
-1 & -1 & -1 & 2 & 4\\ + 
-0 & -1 & 0 & 0 & -2\\ +a) $\sin x,\cos x$;  
-0 & 1 & 2 & -2 & 0\\ + 
-0 & 2 & 0 & -1 & 0 +б) $1,\sin x,\cos x$;  
-\end{array}\right)\to + 
-$$ +в) $\sin x,\sin2x,\ldots,\sin nx$;  
-$$ + 
-\left(\begin{array}{ccccc} +г) $1,\cos x,\cos2x,...,\cos nx$;  
-1 & 0 & -1 & 2 & 6\\ + 
-0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ +д) $1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,...,\cos nx,\sin nx$; 
-0 & 0 & 2 & -2 & -2\\ + 
-0 & 0 & 0 & -1 & -4 +е) $1,\sin x,\sin^{2}x,\ldots,\sin^{n}x$; 
-\end{array}\right) +
-\to +
-\left(\begin{array}{ccccc} +
-1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ +
-0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ +
-0 & 0 & 1 & -1 & -1\\ +
-0 & 0 & 0 & 1 & 4 +
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccccc} +
-u_{1} & u_{2} & v_{1} & v_{2} & \boldsymbol{x}\\ +
-1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ +
-0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ +
-0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ +
-0 & 0 & 0 & 1 & 4 +
-\end{array}\right). +
-$$ +
-в итоги получили, что $\mathbb{R}^{4}=U\oplus V$, а вектор $\boldsymbol{x}$ выражается через остальные как +
-$x=u_{1}+2u_{2}+3v_{1}+4v_{2}$, тогда его проекция на подпространство $U$ параллельно $V$ +
-$x|_{U}=u_{1}+2u_{2}=(1,2,0,0)$.+
  
 +ж) $1,\cos x,\cos^{2}x,...,\cos^{n}x$.