Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math:2-01 [2024/02/14 06:39] – root
+++ math:2-01 [2024/02/14 07:00] (текущий) – [34.3.] root
@@ Строка 17: / Строка 17: @@
 -----
 [[math:34-12|Решение]]
+==== 35.2. ====
+Доказать, что следующие совокупности векторов пространства $F^{n}$, $F$ --- поле, образуют подпространства, и найти их базисы и размерности:
+а) векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты;
+б) векторы, у которых координаты с чётными номерами равны $0$;
+в) векторы, у которых координаты с чётными номерами равны между собой;
+г) векторы вида $(\alpha,\beta,\alpha,\beta,\ldots)$;
+д) векторы, являющиеся решениями однородной системы уравнений.
+==== 35.3. ====
+Выяснить, какие из следующих совокупностей матриц порядка $n$ над полем $F$ образуют подпространства в пространстве матриц $M_{n}(F)$, найти их базисы и размерности:
+а) все матрицы;
+б) симметрические матрицы;
+в) кососимметрические матрицы;
+г) невырожденные матрицы;
+д) вырожденные матрицы;
+е) матрицы со следом, равным нулю;
+ж) матрицы, перестановочные с данным множеством матриц (при вычислении базиса и размерности предположить, что данное множество матриц состоит из одной диагональной матрицы с различными диагональными элементами);
+з) матрицы $X$, удовлетворяющие условию $A_{i}X+XB_{i}$, где $A_{i},B_{i}$ --- заданный набор матриц.
+==== 35.4. ====
+Пусть $\mathbb{R}^{s}$ пространство всех функций, определенных на множестве $S$ и принимающих вещественные значения. Выяснить, какие из следующих совокупностей функций $f(x)\in\mathbb{R}^{s}$ составляют подпространство:
+а) функции, принимающие значение $a$ в данной точке $s\in S$;
+б) функции, принимающие значение $a4 во всех точках некоторого подмножества $T\subseteq S$;
+в) функции, обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке множества $S$;
+г) функции, имеющие предел a при $x\to\infty$ (при $S=\mathbb{R}$);
+д) функции, имеющие не более конечного числа точек разрыва (при $S=\mathbb{R}$).
+==== 35.5. ====
+Пусть $K^{\infty}$ пространство бесконечных последовательностей с элементами из поля $K$. Выяснить, какие из следующих совокупностей последовательностей составляют в $K^{\infty}$ подпространство:
+а) последовательности, в которых лишь конечное число элементов отлично от нуля;
+б) последовательности, в которых лишь конечное число элементов равно нулю;
+в) последовательности, в которых все элементы отличны от $1$.
@@ Строка 37: / Строка 91: @@
 -----
-[[math:35-15|math:35-15]]
+[[math:35-15|Решение]]
+==== 35.18. ====
+Пусть подпространства $U,V\in\mathbb{R}^{n}$ заданы уравнениями
-Составляем матрицу и преобразованием строк приводим к ступенчатому
+$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=0$, $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}$. Доказать,
-виду
+что $U\oplus V=\mathbb{R}^{n}$, и найти проекции единичных векторов
+на $U$ параллельно $V$ и $V$ параллельно $U$.
-$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
+-----
-a_{1} & a_{2} & a_{3} & b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ \hline
-& 1 & 1 & 1 & 2 & 1\\
-& 1 & 3 & 2 & 3 & 1\\
-& -1 & 3 & 3 & -1 & -3
-\end{array}\right)\underset{\to}{(2)-2(1);(3)-(1)}\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-a_{1} & a_{2} & a_{3} & b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ \hline
-& 1 & 1 & 1 & 2 & 1\\
-& -1 & 1 & 0 & -1 & -1\\
-& -2 & 2 & 2 & -3 & -4
-\end{array}\right)\underset{\to}{(1)+(2);(3)-2(2)}$$
+[[math:35-18|Решение]]
+==== 35.19. ====
+Пусть в пространстве $\mathbb{R}^{4}$:
 $$
-\left(\begin{array}{ccc|ccc}
+U=\left\langle (1,1,1,1),(-1,-2,0,1)\right\rangle , V=\left\langle (-1,-1,1,-1),(2,2,0,1)\right\rangle .
-a_{1} & a_{2} & a_{3} & b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ \hline
+$$
- & 0 & 2 & 1 & 1 & 0\\
+Доказать, что $\mathbb{R}^{4}=U\oplus V$, и найти проекцию вектора $\boldsymbol{x}=(4,2,4,4)$ на подпространство $U$ параллельно $V$.
-& -1 & 1 & 0 & -1 & -1\\
- & 0 & 0 & 2 & -1 & -2
-\end{array}\right)
-\underset{\to}{(1)-\frac{1}{2}(3);-1(2);\frac{1}{2}(3)}\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-a_{1} & a_{2} & a_{3} & b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ \hline
-& 0 & 2 & 0 & \frac{3}{2} & 1\\
-& 1 & -1 & 0 & 1 & 1\\
-& 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -1
-\end{array}\right)$$
-Таким образом базис объединения:
+-----
+[[math:35-19|Решение]]
-$$L_{1}\cup L_{2}=\left\langle a_{1},a_{2},a_{3}\right\rangle \cup\left\langle b_{1},b_{2},b_{3}\right\rangle =\left\langle a_{1},a_{2},b_{1}\right\rangle $$
+==== 35.22. ====
+Пусть $U$ --- подпространство кососимметрических матриц, $V$ --- подпространство верхнетреугольных матриц в $M_{n}(\mathbb{R})$.
-Пересечение пространств найдём из равенств: $b_{2}=\frac{3}{2}a_{1}+a_{2}-\frac{1}{2}b_{1}$
+а) Доказать, что $U\oplus V=M_{n}(\mathbb{R})$.
-и $b_{3}=a_{1}+a_{2}-b_{1}$
-перенося все вектора первой оболочки влево, а второй вправо, тогда:
+) Найти проекцию матриц $E_{ij}$ на $U$ и $V$.
-$b_{2}+\frac{1}{2}b_{1}=\frac{3}{2}a_{1}+a_{2}$ и $b_{3}+b_{1}=a_{1}+a_{2}$
+==== 34.1. ====
+Пусть $x,y$ --- векторы, а $\alpha,\beta$ --- скаляры. Доказать, что:
-В результате $L_{1}\cap L_{2}=\left\langle b_{2}+\frac{1}{2}b_{1},b_{3}+b_{1}\right\rangle =\left\langle \frac{3}{2}a_{1}+a_{2},a_{1}+a_{2}\right\rangle =\left\langle \left(\frac{5}{2},4,\frac{1}{2}\right),\left(2,3,0\right)\right\rangle $
+а) $\alpha x=0$ тогда и только тогда, когда $\alpha=0$ или $x=0$;
-Что имеем с размерностями?
+б) $\alpha x+\beta y=\beta x+\alpha y$ тогда и только тогда, когда $\alpha=\beta$ или $x=y$.
-$\dim L_{1}=2,\dim L_{2}=3,\dim\left(L_{1}\cup L_{2}\right)=3,\dim\left(L_{1}\cap L_{2}\right)=2$
+==== 34.2. ====
+При каких значениях $\lambda$:
-Соотношение Грассмана
+а) из линейной независимости системы векторов $\left\{ a_{1},a_{2}\right\}$  вытекает линейная независимость системы $\left\{ \lambda a_{1}+a_{2},a_{1}+\lambda a_{2}\right\}$;
-$\dim L_{1}+\dim L_{2}=3=\dim\left(L_{1}\cup L_{2}\right)-\dim\left(L_{1}\cap L_{2}\right)$
+б) из линейной независимости системы $\left\{ a_{1},\ldots,a_{2}\right\}$  вытекает линейная независимость системы $\left\{ a_{1}+a_{2},a_{2}+a_{3},\ldots,a_{n-1}+a_{n},a_{n}+\lambda a_{1}\right\}$?
-выполняется.
-==== 35.18. ====
+==== 34.3. ====
-Пусть подпространства $U,V\in\mathbb{R}^{n}$ заданы уравнениями
+Доказать линейную независимость над $\mathbb{R}$ систем функций:
-$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=0$, $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}$. Доказать,
+a) $\sin x,\cos x$;
-что $U\oplus V=\mathbb{R}^{n}$, и найти проекции единичных векторов
-на $U$ параллельно $V$ и $V$ параллельно $U$.
------
-Для простоты рассмотрим сначала трёхмерный случай, тогда $u_{1}=\left(1,0,-1\right),u_{2}=\left(0,1,-1\right)$,
+б) $1,\sin x,\cos x$;
-а в пространстве $V:v=(1,1,1).$ Составим матрицу:
-$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
+в) $\sin x,\sin2x,\ldots,\sin nx$;
-u_{1} & u_{2} & v & e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ \hline
-& 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
-& 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\
--1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1
-\end{array}\right)\underset{\to}{(3)+(1)+(2)}\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-u_{1} & u_{2} & v & e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ \hline
-& 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
-& 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\
-& 0 & 3 & 1 & 1 & 1
-\end{array}\right)\underset{\to}{(1)-\frac{1}{3}(3);(2)-\frac{1}{3}(3)}
-$$
-$$
-\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-u_{1} & u_{2} & v & e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ \hline
-& 0 & 0 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\
-& 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\
-& 0 & 3 & 1 & 1 & 1
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-u_{1} & u_{2} & v & e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ \hline
-& 0 & 0 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\
-& 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\
-& 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}
-\end{array}\right).$$
-В итоге $e_{1}=\frac{2}{3}u_{1}-\frac{1}{3}u_{2}+\frac{1}{3}v$; $e_{2}=-\frac{1}{3}u_{1}+\frac{2}{3}u_{2}+\frac{1}{3}v$;
-$e_{3}=-\frac{1}{3}u_{1}-\frac{1}{3}u_{2}+\frac{1}{3}v$
-Тогда проекция единичного вектора $e_{1}$ на пространство $U$ ---
+г) $1,\cos x,\cos2x,...,\cos nx$;
-это его разложение на базисные вектора этого пространства, т.е. $(\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$.
-На пространство $V$ --- $(\frac{1}{3})$
-Рассмотрим теперь общий случай и выберем базис в пространстве $U$:
+д) $1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,...,\cos nx,\sin nx$;
-$u_{1}=\left(1,0,\ldots,0,-1\right),u_{2}=\left(0,1,\ldots,0,-1\right),\ldots,u_{n-1}=\left(0,0,\ldots,1,-1\right)$
-и в пространстве $V$: $v=(1,1,\ldots,1,1)$. Тогда обобщая трёхмерный
-случай, единичный вектор $e_{1}=\left(1,0,\ldots,0,0\right)\in\mathbb{R}^{n}$
-можно представить в виде:
-$e_{1}=\left(1,0,\ldots,0,0\right)=\frac{n-1}{n}u_{1}-\frac{1}{n}\left(u_{2}+\ldots+u_{n-1}\right)+\frac{1}{n}v$
+е) $1,\sin x,\sin^{2}x,\ldots,\sin^{n}x$;
-тогда для произвольного единичного вектора
-$e_{k}=\frac{n-1}{n}u_{k}-\frac{1}{n}\left(\sum\limits_{i=1}^{n-1}u_{i}-u_{k}\right)+\frac{1}{n}v.$
-==== 35.19. ====
-Пусть в пространстве $\mathbb{R}^{4}$:
-$$
-U=\left\langle (1,1,1,1),(-1,-2,0,1)\right\rangle , V=\left\langle (-1,-1,1,-1),(2,2,0,1)\right\rangle .
-$$
-Доказать, что $\mathbb{R}^{4}=U\oplus V$, и найти проекцию вектора $\boldsymbol{x}=(4,2,4,4)$ на подпространство $U$ параллельно $V$.
------
-Запишем матрицу и приведём её к диагональному виду
-$$
-\left(\begin{array}{ccccc}
-u_{1} & u_{2} & v_{1} & v_{2} & \boldsymbol{x}\\
-& -1 & -1 & 2 & 4\\
-& -2 & -1 & 2 & 2\\
-& 0 & 1 & 0 & 4\\
-& 1 & -1 & 1 & 4
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccccc}
-& -1 & -1 & 2 & 4\\
-& -1 & 0 & 0 & -2\\
-& 1 & 2 & -2 & 0\\
-& 2 & 0 & -1 & 0
-\end{array}\right)\to
-$$
-$$
-\left(\begin{array}{ccccc}
-& 0 & -1 & 2 & 6\\
-& 1 & 0 & 0 & 2\\
-& 0 & 2 & -2 & -2\\
-& 0 & 0 & -1 & -4
-\end{array}\right)
-\to
-\left(\begin{array}{ccccc}
-& 0 & 0 & 0 & 1\\
-& 1 & 0 & 0 & 2\\
-& 0 & 1 & -1 & -1\\
-& 0 & 0 & 1 & 4
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccccc}
-u_{1} & u_{2} & v_{1} & v_{2} & \boldsymbol{x}\\
-& 0 & 0 & 0 & 1\\
-& 1 & 0 & 0 & 2\\
-& 0 & 1 & 0 & 3\\
-& 0 & 0 & 1 & 4
-\end{array}\right).
-$$
-в итоги получили, что $\mathbb{R}^{4}=U\oplus V$, а вектор $\boldsymbol{x}$ выражается через остальные как
-$x=u_{1}+2u_{2}+3v_{1}+4v_{2}$, тогда его проекция на подпространство $U$ параллельно $V$
-$x|_{U}=u_{1}+2u_{2}=(1,2,0,0)$.
+ж) $1,\cos x,\cos^{2}x,...,\cos^{n}x$.