math:2-01

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
math:2-01 [2024/02/14 06:35] – rootmath:2-01 [2024/02/14 07:00] (текущий) – [34.3.] root
Строка 6: Строка 6:
 $e_{1}=(1,1,1);e_{2}=(1,1,2);e_{3}=(1,2,3);{\mathbf x}=(6,9,14)$. $e_{1}=(1,1,1);e_{2}=(1,1,2);e_{3}=(1,2,3);{\mathbf x}=(6,9,14)$.
  
-[[math:34-10|math:34-10]] 
 ----- -----
- +[[math:34-10|Решение]]
-Составим матрицу +
- +
-$$\left(\begin{array}{ccc|c} +
-e_{1} & e_{2} & e_{3} & {\mathbf x}\\ \hline +
-1 & 1 & 1 & 6\\ +
-1 & 1 & 2 & 9\\ +
-1 & 2 & 3 & 14 +
-\end{array}\right) +
-$$ +
- +
-преобразованием строк придём виду  +
- +
-$$ +
-\left(\begin{array}{ccc|c} +
-1 & 1 & 1 & 6\\  +
-1 & 1 & 2 & 9\\ +
-1 & 2 & 3 & 14 +
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c} +
-1 & 1 & 1 & 6\\  +
-0 & 0 & 1 & 3\\ +
-0 & 1 & 2 & 8 +
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c} +
-1 & 1 & 1 & 6\\  +
-0 & 0 & 1 & 3\\ +
-0 & 1 & 0 & 2 +
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c} +
-e_{1} & e_{2} & e_{3} & {\mathbf x}\\ \hline +
-1 & 0 & 0 & 1\\ +
-0 & 0 & 1 & 3\\ +
-0 & 1 & 0 & 2 +
-\end{array}\right).$$ +
- +
-Следовательно: +
- +
-$${\mathbf x}=e_{1}+2e_{2}+3e_{3}.$$ +
 ==== 34.12. ==== ==== 34.12. ====
 Доказать, что в пространстве $\mathbb{R}[x]_{n}$ многочленов Доказать, что в пространстве $\mathbb{R}[x]_{n}$ многочленов
Строка 51: Строка 14:
 являются базисами, и найти координаты многочлена $f(x)=a_{0}+xa_{1}+\ldots+x^{n}a_{n}$ являются базисами, и найти координаты многочлена $f(x)=a_{0}+xa_{1}+\ldots+x^{n}a_{n}$
 в этих базисах и матрицу перехода от первого базиса ко второму. в этих базисах и матрицу перехода от первого базиса ко второму.
 +
 ----- -----
 +[[math:34-12|Решение]]
  
-Первый базис: $\left\{ e_{0},e_{1},\ldots,e_{n}\right\} =\left\{ 1,x,\ldots,x^{n}\right\} $, +==== 35.2. ==== 
-следовательно, из равенства +Доказать, что следующие совокупности векторов пространства $F^{n}$, $F$ --- поле, образуют подпространства, и найти их базисы и размерности: 
  
-$$f(x)=\left(e_{0},e_{1},\ldots,e_{n}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} +а) векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты; 
-x_{0}\\ +
-x_{1}\\ +
-\vdots\\ +
-x_{n} +
-\end{array}\right)=\left(1,x,\ldots,x^{n}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} +
-a_{0}\\ +
-a_{1}\\ +
-\vdots\\ +
-a_{n} +
-\end{array}\right)=a_{0}+xa_{1}+\ldots+x^{n}a_{n}$$+
  
-координаты многочлена в этом базисе: $\left(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}\right)^{T}.$+б) векторы, у которых координаты с чётными номерами равны $0$; 
  
-Построим теперь переход о старого базиса $\left\{ 1,x,\ldots,x^{n}\right\} $ +в) векторы, у которых координаты с чётными номерами равны между собой; 
-к новому $\left\{ 1,x-a,\ldots,\left(x-a\right)^{n}\right\} $ выразив +
-вектора нового базиса через старый:+
  
-$e_{0}'=1=e_{0},$+г) векторы вида $(\alpha,\beta,\alpha,\beta,\ldots)$; 
  
-$e_{1}'=x-a=e_{1}-a\cdot e_{0},$+д) векторы, являющиеся решениями однородной системы уравнений.
  
-$e_{2}'=\left(x-a\right)^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}=e_{2}-2a\cdot e_{1}+a^{2}\cdot e_{0},$+==== 35.3. ==== 
 +Выяснить, какие из следующих совокупностей матриц порядка $n$ над полем $F$ образуют подпространства в пространстве матриц $M_{n}(F)$, найти их базисы и размерности: 
  
-$\vdots$+а) все матрицы; 
  
-$e_{n}'=\left(x-a\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-a)^{n-k}x^{k}$+б) симметрические матрицы; 
  
-где биномиальные коэффициенты:+в) кососимметрические матрицы; 
  
-$\binom{n}{k}=\begin{cases} +г) невырожденные матрицы; 
-\frac{n!}{k!(n-k)!}, & 0\leqslant k\leqslant n\\ +
-0, & k>n +
-\end{cases}$+
  
-тогда матрица перехода:+д) вырожденные матрицы; 
  
-$$T=\left(\begin{array}{ccccc} +е) матрицы со следом, равным нулю; 
-1 & -a & a^{2} & \cdots & \left(-a\right)^{n}\\ +
-0 & 1 & -2a & \cdots & n\left(-a\right)^{n-1}\\ +
-0 & 0 & 1 & \cdots & \frac{n(n-1)}{2}\left(-a\right)^{n-2}\\ +
-\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ +
-0 & 0 &  & \cdots & 1 +
-\end{array}\right)$$+
  
-Переход к новым координатам задаётся обратной матрицей, которую легко +ж) матрицы, перестановочные с данным множеством матриц (при вычислении базиса и размерности предположить, что данное множество матриц состоит из одной диагональной матрицы с различными диагональными элементами); 
-найти т.к. для обратного перехода требуется заменить $-a\mapsto a$, +
-ведь если $x'=x-a,$ то $x=x'+a$:+
  
-$$\left(\begin{array}{c} +з) матрицы $X$, удовлетворяющие условию $A_{i}X+XB_{i}$, где $A_{i},B_{i}$ --- заданный набор матриц. 
-a_{0}'\\ + 
-a_{1}'\\ +==== 35.4. ==== 
-a_{2}'\\ +Пусть $\mathbb{R}^{s}$ пространство всех функций, определенных на множестве $S$ и принимающих вещественные значения. Выяснить, какие из следующих совокупностей функций $f(x)\in\mathbb{R}^{s}$ составляют подпространство:  
-\vdots\\ + 
-a_{n}' +а) функции, принимающие значение $a$ в данной точке $s\in S$;  
-\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc} + 
-1 & a & a^{2} & \cdots & a^{n}\\ +б) функции, принимающие значение $a4 во всех точках некоторого подмножества $T\subseteq S$;  
-0 & 1 & 2a & \cdots & na^{n-1}\\ + 
-0 & 0 & 1 & \cdots & \frac{n(n-1)}{2}a^{n-2}\\ +в) функции, обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке множества $S$;  
-\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + 
-0 & 0 &  & \cdots & 1 +г) функции, имеющие предел a при $x\to\infty$ (при $S=\mathbb{R}$);  
-\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} + 
-a_{0}\\ +д) функции, имеющие не более конечного числа точек разрыва (при $S=\mathbb{R}$). 
-a_{1}\\ + 
-a_{2}\\ +==== 35.5. ====  
-\vdots\\ +Пусть $K^{\infty}$ пространство бесконечных последовательностей с элементами из поля $K$. Выяснить, какие из следующих совокупностей последовательностей составляют в $K^{\infty}$ подпространство:  
-a_{n} + 
-\end{array}\right)$$+а) последовательности, в которых лишь конечное число элементов отлично от нуля;  
 + 
 +б) последовательности, в которых лишь конечное число элементов равно нулю;  
 + 
 +в) последовательности, в которых все элементы отличны от $1$.
  
-Тогда посмотрим выражения для первых координат: 
-$$a'_{0}=\sum_{k=0}^{n}a{}^{k}a_{k}=f(a);$$ 
-$$a'_{1}=\sum_{k=1}^{n}ka{}^{k-1}a_{k}=\left.f'(x)\right|_{x=a}=f'(a),$$ 
-где $f'(x)$ --- это первая производная; 
-$$a'_{2}=\sum_{k=2}^{n}\frac{k(k-1)}{2!}a{}^{k-2}a_{k}=\frac{f''(a)}{2!}$$ 
-где $f''(x)$ --- это вторая производная. Теперь уже видно как будут себя вести остальные координаты: 
-$$a'_{p}=\sum_{k=p}^{n}\frac{k!}{p!(k-p)!}a{}^{k-p}a_{k}=\frac{f^{(p)}(a)}{p!}$$  
  
 ==== 35.15. ==== ==== 35.15. ====
Строка 151: Строка 91:
 ----- -----
  
-Составляем матрицу и преобразованием строк приводим к ступенчатому +[[math:35-15|Решение]] 
-виду+==== 35.18. ==== 
 +Пусть подпространства $U,V\in\mathbb{R}^{n}$ заданы уравнениями 
  
-$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} +$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=0$, $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}$. Доказать, 
-a_{1} & a_{2} & a_{3} & b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ \hline +что $U\oplus V=\mathbb{R}^{n}$, и найти проекции единичных векторов 
-1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1\\ +на $U$ параллельно $V$ и $V$ параллельно $U$. 
-2 & 1 & 3 & 2 & 3 & 1\\ +-----
-1 & -1 & 3 & 3 & -1 & -3 +
-\end{array}\right)\underset{\to}{(2)-2(1);(3)-(1)}\left(\begin{array}{ccc|ccc} +
-a_{1} & a_{2} & a_{3} & b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ \hline +
-1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1\\ +
-0 & -1 & 1 & 0 & -1 & -1\\ +
-0 & -2 & 2 & 2 & -3 & -4 +
-\end{array}\right)\underset{\to}{(1)+(2);(3)-2(2)}$$+
  
 +[[math:35-18|Решение]]
 +==== 35.19. ====
 +Пусть в пространстве $\mathbb{R}^{4}$: 
 $$ $$
-\left(\begin{array}{ccc|ccc} +U=\left\langle (1,1,1,1),(-1,-2,0,1)\right\rangle , V=\left\langle (-1,-1,1,-1),(2,2,0,1)\right\rangle . 
-a_{1} & a_{2} & a_{3} & b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ \hline +$$ 
-1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0\\ +Доказать, что $\mathbb{R}^{4}=U\oplus V$, и найти проекцию вектора $\boldsymbol{x}=(4,2,4,4)$ на подпространство $U$ параллельно $V$.
-0 & -1 & 1 & 0 & -1 & -1\\ +
-0 & 0 & 0 & 2 & -1 & -2 +
-\end{array}\right) +
-\underset{\to}{(1)-\frac{1}{2}(3);-1(2);\frac{1}{2}(3)}\left(\begin{array}{ccc|ccc} +
-a_{1} & a_{2} & a_{3} & b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ \hline +
-1 & 0 & 2 & 0 & \frac{3}{2} & 1\\ +
-0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 1\\ +
-0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -1 +
-\end{array}\right)$$+
  
-Таким образом базис объединения:+----- 
 +[[math:35-19|Решение]]
  
-$$L_{1}\cup L_{2}=\left\langle a_{1},a_{2},a_{3}\right\rangle \cup\left\langle b_{1},b_{2},b_{3}\right\rangle =\left\langle a_{1},a_{2},b_{1}\right\rangle $$+==== 35.22. ==== 
 +Пусть $U$ --- подпространство кососимметрических матриц, $V$ --- подпространство верхнетреугольных матриц в $M_{n}(\mathbb{R})$. 
  
-Пересечение пространств найдём из равенств: $b_{2}=\frac{3}{2}a_{1}+a_{2}-\frac{1}{2}b_{1}$ +а) Доказать, что $U\oplus V=M_{n}(\mathbb{R})$. 
-и $b_{3}=a_{1}+a_{2}-b_{1}$+
  
-перенося все вектора первой оболочки влево, а второй вправо, тогда:+6) Найти проекцию матриц $E_{ij}$ на $U$ и $V$.
  
-$b_{2}+\frac{1}{2}b_{1}=\frac{3}{2}a_{1}+a_{2}$ и $b_{3}+b_{1}=a_{1}+a_{2}$+==== 34.1. ====  
 +Пусть $x,y$ --- векторы, а $\alpha,\beta$ --- скаляры. Доказать, что: 
  
-В результате $L_{1}\cap L_{2}=\left\langle b_{2}+\frac{1}{2}b_{1},b_{3}+b_{1}\right\rangle =\left\langle \frac{3}{2}a_{1}+a_{2},a_{1}+a_{2}\right\rangle =\left\langle \left(\frac{5}{2},4,\frac{1}{2}\right),\left(2,3,0\right)\right\rangle $+а) $\alpha x=0$ тогда и только тогда, когда $\alpha=0$ или $x=0$; 
  
-Что имеем с размерностями? +б) $\alpha x+\beta y=\beta x+\alpha y$ тогда и только тогда, когда $\alpha=\beta$ или $x=y$. 
  
-$\dim L_{1}=2,\dim L_{2}=3,\dim\left(L_{1}\cup L_{2}\right)=3,\dim\left(L_{1}\cap L_{2}\right)=2$+==== 34.2. ==== 
 +При каких значениях $\lambda$:
  
-Соотношение Грассмана +а) из линейной независимости системы векторов $\left\{ a_{1},a_{2}\right\}$  вытекает линейная независимость системы $\left\{ \lambda a_{1}+a_{2},a_{1}+\lambda a_{2}\right\}$; 
  
-$\dim L_{1}+\dim L_{2}=3=\dim\left(L_{1}\cup L_{2}\right)-\dim\left(L_{1}\cap L_{2}\right)$ +б) из линейной независимости системы $\left\{ a_{1},\ldots,a_{2}\right\}$  вытекает линейная независимость системы $\left\{ a_{1}+a_{2},a_{2}+a_{3},\ldots,a_{n-1}+a_{n},a_{n}+\lambda a_{1}\right\}$?
-выполняется.+
  
-==== 35.18. ==== +==== 34.3. ==== 
-Пусть подпространства $U,V\in\mathbb{R}^{n}$ заданы уравнениями +Доказать линейную независимость над $\mathbb{R}$ систем функций: 
  
-$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=0$, $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}$. Доказать, +a) $\sin x,\cos x$; 
-что $U\oplus V=\mathbb{R}^{n}$, и найти проекции единичных векторов +
-на $U$ параллельно $V$ и $V$ параллельно $U$. +
------+
  
-Для простоты рассмотрим сначала трёхмерный случай, тогда $u_{1}=\left(1,0,-1\right),u_{2}=\left(0,1,-1\right)$, +б) $1,\sin x,\cos x$; 
-а в пространстве $V:v=(1,1,1).$ Составим матрицу:+
  
-$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} +в) $\sin x,\sin2x,\ldots,\sin nx$; 
-u_{1} & u_{2} & v & e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ \hline +
-1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ +
-0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ +
--1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 +
-\end{array}\right)\underset{\to}{(3)+(1)+(2)}\left(\begin{array}{ccc|ccc} +
-u_{1} & u_{2} & v & e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ \hline +
-1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ +
-0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ +
-0 & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 +
-\end{array}\right)\underset{\to}{(1)-\frac{1}{3}(3);(2)-\frac{1}{3}(3)} +
-$$ +
-$$ +
-\left(\begin{array}{ccc|ccc} +
-u_{1} & u_{2} & v & e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ \hline +
-1 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\ +
-0 & 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ +
-0 & 0 & 3 & 1 & 1 & 1 +
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|ccc} +
-u_{1} & u_{2} & v & e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ \hline +
-1 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\ +
-0 & 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ +
-0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} +
-\end{array}\right).$$+
  
-В итоге $e_{1}=\frac{2}{3}u_{1}-\frac{1}{3}u_{2}+\frac{1}{3}v$; $e_{2}=-\frac{1}{3}u_{1}+\frac{2}{3}u_{2}+\frac{1}{3}v$; +г) $1,\cos x,\cos2x,...,\cos nx$; 
-$e_{3}=-\frac{1}{3}u_{1}-\frac{1}{3}u_{2}+\frac{1}{3}v$+
  
-Тогда проекция единичного вектора $e_{1}$ на пространство $U$ --- +д) $1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,...,\cos nx,\sin nx$;
-это его разложение на базисные вектора этого пространства, т.е. $(\frac{2}{3},-\frac{1}{3})$. +
-На пространство $V$ --- $(\frac{1}{3})$+
  
-Рассмотрим теперь общий случай и выберем базис в пространстве $U$: +е) $1,\sin x,\sin^{2}x,\ldots,\sin^{n}x$; 
-$u_{1}=\left(1,0,\ldots,0,-1\right),u_{2}=\left(0,1,\ldots,0,-1\right),\ldots,u_{n-1}=\left(0,0,\ldots,1,-1\right)$ +
-и в пространстве $V$: $v=(1,1,\ldots,1,1)$. Тогда обобщая трёхмерный +
-случай, единичный вектор $e_{1}=\left(1,0,\ldots,0,0\right)\in\mathbb{R}^{n}$ +
-можно представить в виде: +
- +
-$e_{1}=\left(1,0,\ldots,0,0\right)=\frac{n-1}{n}u_{1}-\frac{1}{n}\left(u_{2}+\ldots+u_{n-1}\right)+\frac{1}{n}v$ +
-тогда для произвольного единичного вектора +
- +
-$e_{k}=\frac{n-1}{n}u_{k}-\frac{1}{n}\left(\sum\limits_{i=1}^{n-1}u_{i}-u_{k}\right)+\frac{1}{n}v.$  +
- +
-==== 35.19. ==== +
-Пусть в пространстве $\mathbb{R}^{4}$:  +
-$$ +
-U=\left\langle (1,1,1,1),(-1,-2,0,1)\right\rangle , V=\left\langle (-1,-1,1,-1),(2,2,0,1)\right\rangle . +
-$$ +
-Доказать, что $\mathbb{R}^{4}=U\oplus V$, и найти проекцию вектора $\boldsymbol{x}=(4,2,4,4)$ на подпространство $U$ параллельно $V$. +
- +
------ +
- +
-Запишем матрицу и приведём её к диагональному виду +
-$$ +
-\left(\begin{array}{ccccc} +
-u_{1} & u_{2} & v_{1} & v_{2} & \boldsymbol{x}\\ +
-1 & -1 & -1 & 2 & 4\\ +
-1 & -2 & -1 & 2 & 2\\ +
-1 & 0 & 1 & 0 & 4\\ +
-1 & 1 & -1 & 1 & 4 +
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccccc} +
-1 & -1 & -1 & 2 & 4\\ +
-0 & -1 & 0 & 0 & -2\\ +
-0 & 1 & 2 & -2 & 0\\ +
-0 & 2 & 0 & -1 & 0 +
-\end{array}\right)\to +
-$$ +
-$$ +
-\left(\begin{array}{ccccc} +
-1 & 0 & -1 & 2 & 6\\ +
-0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ +
-0 & 0 & 2 & -2 & -2\\ +
-0 & 0 & 0 & -1 & -4 +
-\end{array}\right) +
-\to +
-\left(\begin{array}{ccccc} +
-1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ +
-0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ +
-0 & 0 & 1 & -1 & -1\\ +
-0 & 0 & 0 & 1 & 4 +
-\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccccc} +
-u_{1} & u_{2} & v_{1} & v_{2} & \boldsymbol{x}\\ +
-1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ +
-0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ +
-0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ +
-0 & 0 & 0 & 1 & 4 +
-\end{array}\right). +
-$$ +
-в итоги получили, что $\mathbb{R}^{4}=U\oplus V$, а вектор $\boldsymbol{x}$ выражается через остальные как +
-$x=u_{1}+2u_{2}+3v_{1}+4v_{2}$, тогда его проекция на подпространство $U$ параллельно $V$ +
-$x|_{U}=u_{1}+2u_{2}=(1,2,0,0)$.+
  
 +ж) $1,\cos x,\cos^{2}x,...,\cos^{n}x$.