math:1599

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

math:1599 [2026/02/25 17:59] – создано rootmath:1599 [2026/02/25 18:00] (текущий) – [Решение] root
Строка 3: Строка 3:
 Дополнить эту систему до базиса всего пространства базисными векторами $e_1 = \{1, 0, 0, 0\}$, $e_2 = \{0, 1, 0, 0\}$, $e_3 = \{0, 0, 1, 0\}$, $e_4 = \{0, 0, 0, 1\}$ и выразить через векторы нового базиса не вошедшие в него векторы старого базиса. Дополнить эту систему до базиса всего пространства базисными векторами $e_1 = \{1, 0, 0, 0\}$, $e_2 = \{0, 1, 0, 0\}$, $e_3 = \{0, 0, 1, 0\}$, $e_4 = \{0, 0, 0, 1\}$ и выразить через векторы нового базиса не вошедшие в него векторы старого базиса.
  
-==== Решение ==== 
-Векторы $a_1$ и $a_2$ линейно независимы, так как не пропорциональны.   
-Выберем два вектора из стандартного базиса так, чтобы вместе с $a_1$ и $a_2$ они образовали базис $\mathbb{R}^4$. Проверим, что векторы $a_1$, $a_2$, $e_3$, $e_4$ линейно независимы. Составим матрицу из этих векторов-столбцов: 
-$$ 
-\begin{pmatrix} 
-4 & 1 & 0 & 0 \\ 
-4 & 2 & 0 & 0 \\ 
-6 & 3 & 1 & 0 \\ 
-8 & 4 & 0 & 1 
-\end{pmatrix}. 
-$$ 
-Определитель этой матрицы равен определителю верхнего левого блока $2\times2$: 
-$$ 
-\det\begin{pmatrix}4 & 1\\4 & 2\end{pmatrix}=4\cdot2-1\cdot4=8-4=4\neq0. 
-$$ 
-Следовательно, векторы $a_1$, $a_2$, $e_3$, $e_4$ линейно независимы и образуют базис. В новый базис не вошли $e_1$ и $e_2$. Найдём их разложение по новому базису. 
- 
-**Для $e_1 = (1,0,0,0)$:**   
-Ищем коэффициенты $x,y,z,w$ такие, что 
-$$ e_1 = x a_1 + y a_2 + z e_3 + w e_4. $$ 
-В координатной форме получаем систему: 
-\[ 
-\begin{cases} 
-4x + y = 1, \\ 
-4x + 2y = 0, \\ 
-6x + 3y + z = 0, \\ 
-8x + 4y + w = 0. 
-\end{cases} 
-\] 
-Из первых двух уравнений вычитаем: $(4x+2y)-(4x+y)=0-1 \Rightarrow y=-1$. Тогда $4x-1=1 \Rightarrow x=\frac12$. Подставляем в третье: $6\cdot\frac12 +3\cdot(-1)+z = 3-3+z=0 \Rightarrow z=0$. Из четвёртого: $8\cdot\frac12+4\cdot(-1)+w =4-4+w=0 \Rightarrow w=0$. Таким образом, 
-$$ e_1 = \frac12 a_1 - a_2. $$ 
- 
-**Для $e_2 = (0,1,0,0)$:**   
-Аналогично ищем $x,y,z,w$: 
-\[ 
-\begin{cases} 
-4x + y = 0, \\ 
-4x + 2y = 1, \\ 
-6x + 3y + z = 0, \\ 
-8x + 4y + w = 0. 
-\end{cases} 
-\] 
-Из первых двух: $(4x+2y)-(4x+y)=1-0 \Rightarrow y=1$. Тогда $4x+1=0 \Rightarrow x=-\frac14$. Третье: $6\cdot(-\frac14)+3\cdot1+z = -1.5+3+z=1.5+z=0 \Rightarrow z=-\frac32$. Четвёртое: $8\cdot(-\frac14)+4\cdot1+w = -2+4+w=2+w=0 \Rightarrow w=-2$. Получаем 
-$$ e_2 = -\frac14 a_1 + a_2 - \frac32 e_3 - 2 e_4. $$ 
  
 ==== Ответ ==== ==== Ответ ====