math:1597

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

math:1597 [2026/02/25 17:57] – создано rootmath:1597 [2026/02/25 17:57] (текущий) – root
Строка 4: Строка 4:
 Показать, что эти векторы линейно зависимы, найти максимальную подсистему линейно независимых векторов и выразить остальные векторы через векторы этой подсистемы. Показать, что эти векторы линейно зависимы, найти максимальную подсистему линейно независимых векторов и выразить остальные векторы через векторы этой подсистемы.
  
-==== Решение ==== 
-Составим матрицу, строками которой являются данные векторы: 
-$$ \begin{pmatrix} 
-1 & 2 & 3 & 4 \\ 
-4 & 3 & 2 & 1 \\ 
--1 & 0 & 1 & 2 \\ 
-1 & 1 & 1 & 2 
-\end{pmatrix}. $$ 
-Приведем её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. 
- 
-1. Из второй строки вычтем первую, умноженную на 4: 
-   $$ (4-4\cdot1,\; 3-4\cdot2,\; 2-4\cdot3,\; 1-4\cdot4) = (0,\; -5,\; -10,\; -15). $$ 
-2. К третьей строке прибавим первую: 
-   $$ (-1+1,\; 0+2,\; 1+3,\; 2+4) = (0,\; 2,\; 4,\; 6). $$ 
-3. Из четвертой строки вычтем первую: 
-   $$ (1-1,\; 1-2,\; 1-3,\; 2-4) = (0,\; -1,\; -2,\; -2). $$ 
- 
-Получили: 
-$$ \begin{pmatrix} 
-1 & 2 & 3 & 4 \\ 
-0 & -5 & -10 & -15 \\ 
-0 & 2 & 4 & 6 \\ 
-0 & -1 & -2 & -2 
-\end{pmatrix}. $$ 
- 
-Упростим вторую строку, разделив на $-5$: $(0,1,2,3)$. Третью строку разделим на $2$: $(0,1,2,3)$. Четвертую пока оставим. 
- 
-Теперь из третьей строки вычтем вторую: $(0,0,0,0)$ — нулевая строка. К четвертой строке прибавим вторую: 
-$$ (0,\; -1+1,\; -2+2,\; -2+3) = (0,0,0,1). $$ 
-Получили матрицу: 
-$$ \begin{pmatrix} 
-1 & 2 & 3 & 4 \\ 
-0 & 1 & 2 & 3 \\ 
-0 & 0 & 0 & 1 \\ 
-0 & 0 & 0 & 0 
-\end{pmatrix}. $$ 
-Ранг матрицы равен $3$, следовательно, исходные векторы линейно зависимы, и максимальная линейно независимая подсистема состоит из трёх векторов. 
- 
-В качестве базисных выберем векторы $a_1$, $a_2$ и $a_4$ (они соответствуют ненулевым строкам после преобразований, причём $a_4$ оказался независимым от первых двух). Проверим, что $a_4$ не выражается через $a_1$ и $a_2$: система $a_4 = \alpha a_1 + \beta a_2$ приводит к противоречию (четвёртое уравнение $4\alpha+\beta=2$ не выполняется при $\alpha=\beta=0.2$, найденных из первых трёх). Таким образом, $\{a_1, a_2, a_4\}$ — максимальная независимая подсистема. 
- 
-Выразим $a_3$ через $a_1$, $a_2$ и $a_4$. Ищем коэффициенты $x$, $y$, $z$ такие, что 
-$$ a_3 = x a_1 + y a_2 + z a_4. $$ 
-Запишем покоординатно: 
-\[ 
-\begin{cases} 
-x + 4y + z = -1, \\ 
-2x + 3y + z = 0, \\ 
-3x + 2y + z = 1, \\ 
-4x + y + 2z = 2. 
-\end{cases} 
-\] 
-Вычитая первое уравнение из второго, получаем $x - y = 1$. Вычитая второе из третьего, снова $x - y = 1$. Вычитая третье из четвёртого: 
-$$ (4x+y+2z) - (3x+2y+z) = 2-1 \;\Rightarrow\; x - y + z = 1. $$ 
-Так как $x - y = 1$, то $1 + z = 1$, откуда $z = 0$. Тогда из первого уравнения: $x + 4y = -1$. Вместе с $x = y+1$ получаем $(y+1) + 4y = 5y+1 = -1$, следовательно $y = -\frac{2}{5}$, $x = \frac{3}{5}$. Проверка подтверждает все уравнения. Таким образом, 
-$$ a_3 = \frac{3}{5} a_1 - \frac{2}{5} a_2. $$ 
- 
-==== Ответ ==== 
-Векторы линейно зависимы. Максимальная линейно независимая подсистема: $\{a_1, a_2, a_4\}$. Остальные векторы выражаются следующим образом: 
-$$ a_3 = \frac{3}{5}a_1 - \frac{2}{5}a_2. $$