math:1595

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

math:1595 [2026/02/25 17:51] – создано rootmath:1595 [2026/02/25 17:52] (текущий) – root
Строка 7: Строка 7:
  
 ==== Решение ==== ==== Решение ====
-Векторы линейно зависимы, если существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулю. Для проверки составим матрицу из векторов-строк и найдём её ранг. +Векторы линейно зависимы, если существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулю. 
- +
-Матрица: +
-\[ +
-\begin{pmatrix} +
-2 & 3 & 4 & 5 \\ +
--3 & 6 & -6 & -4 \\ +
--3 & 3 & -6 & -5 +
-\end{pmatrix} +
-\] +
- +
-Вычислим все миноры третьего порядка.   +
-Минор из первых трёх координат: +
-\[ +
-\begin{vmatrix} +
-2 & 3 & 4 \\ +
--3 & 6 & -6 \\ +
--3 & 3 & -6 +
-\end{vmatrix} +
-= 2(6\cdot(-6) - (-6)\cdot3) - 3((-3)\cdot(-6) - (-6)\cdot(-3)) + 4((-3)\cdot3 - 6\cdot(-3)) = 2(-36+18) - 3(18-18) + 4(-9+18) = 2(-18) + 4\cdot9 = -36+36=0. +
-\] +
- +
-Минор из 1,2,4 координат: +
-\[ +
-\begin{vmatrix} +
-2 & 3 & 5 \\ +
--3 & 6 & -4 \\ +
--3 & 3 & -5 +
-\end{vmatrix} +
-= 2(6\cdot(-5) - (-4)\cdot3) - 3((-3)\cdot(-5) - (-4)\cdot(-3)) + 5((-3)\cdot3 - 6\cdot(-3)) = 2(-30+12) - 3(15-12) + 5(-9+18) = 2(-18) - 3\cdot3 + 5\cdot9 = -36-9+45=0. +
-\] +
- +
-Минор из 1,3,4 координат: +
-\[ +
-\begin{vmatrix} +
-2 & 4 & 5 \\ +
--3 & -6 & -4 \\ +
--3 & -6 & -5 +
-\end{vmatrix} +
-= 2((-6)\cdot(-5) - (-4)\cdot(-6)) - 4((-3)\cdot(-5) - (-4)\cdot(-3)) + 5((-3)\cdot(-6) - (-6)\cdot(-3)) = 2(30-24) - 4(15-12) + 5(18-18) = 2\cdot6 - 4\cdot3 + 0 = 12-12=0. +
-\] +
- +
-Минор из 2,3,4 координат: +
-\[ +
-\begin{vmatrix} +
-3 & 4 & 5 \\ +
-6 & -6 & -4 \\ +
-3 & -6 & -5 +
-\end{vmatrix} +
-= 3((-6)\cdot(-5) - (-4)\cdot(-6)) - 4(6\cdot(-5) - (-4)\cdot3) + 5(6\cdot(-6) - (-6)\cdot3) = 3(30-24) - 4(-30+12) + 5(-36+18) = 3\cdot6 - 4(-18) + 5(-18) = 18 + 72 - 90 = 0. +
-\] +
- +
-Все миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг матрицы меньше трёх, и векторы линейно зависимы. +
 Найдём коэффициенты зависимости. Решим систему $\alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 + \alpha_3 a_3 = 0$: Найдём коэффициенты зависимости. Решим систему $\alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 + \alpha_3 a_3 = 0$:
 \[ \[