math:13.1_а_б

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
math:13.1_а_б [2026/03/18 18:23] – rootmath:13.1_а_б [2026/03/18 18:26] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-Вычислим определители матриц $4 \times 4$ методом приведения к треугольному виду (методом Гаусса).+====== Вычисление определителей 13.1 (а, б) ======
  
 --- ---
  
-### Пункт а) +^ Задача 13.1 (а) ^ 
- +Вычислить определитель:
-Вычислим определитель:+
 $$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ -3 & 2 & -5 & 13 \\ 1 & -2 & 10 & 4 \\ -2 & 9 & -8 & 25 \end{vmatrix}$$ $$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ -3 & 2 & -5 & 13 \\ 1 & -2 & 10 & 4 \\ -2 & 9 & -8 & 25 \end{vmatrix}$$
  
-**Шаг 1: Обнулим первый столбец под первой строкой.** +=== Пошаговое решение ===
-*   К 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на $3$. +
-*   Из 3-й строки вычтем 1-ю. +
-*   К 4-й строке прибавим 1-ю, умноженную на $2$.+
  
-$$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 8 & 4 & 25 \\ 0 & -4 & 7 & 0 \\ 0 & 13 & -2 & 33 \end{vmatrix}$$+| **Шаг 1** | Обнуляем первый столбец. Применим: \\ $R_2 \to R_2 + 3R_1$ \\ $R_3 \to R_3 - R_1$ \\ $R_4 \to R_4 + 2R_1$ | $$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 8 & 4 & 25 \\ 0 & -4 & 7 & 0 \\ 0 & 13 & -2 & 33 \end{vmatrix}$$ | 
 +| **Шаг 2** | Меняем $R_2$ и $R_3$ местами для удобства (знак меняется на $-$). | $$D = - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -4 & 7 & 0 \\ 0 & 8 & 4 & 25 \\ 0 & 13 & -2 & 33 \end{vmatrix}$$ | 
 +| **Шаг 3** | Обнуляем второй столбец под $-4$: \\ $R_3 \to R_3 + 2R_2$ \\ $R_4 \to R_4 + 3.25R_2$ | $$D = - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -4 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 18 & 25 \\ 0 & 0 & 20.75 & 33 \end{vmatrix}$$ | 
 +| **Шаг 4** | Перемножаем диагональ: \\ $D = -1 \cdot 1 \cdot (-4) \cdot (18 \cdot 33 - 25 \cdot 20.75)$ | $$D = 4 \cdot (594 - 518.75) = 4 \cdot 75.25 = 301$$ |
  
-**Шаг 2: Обнулим второй столбец под второй строкой.** +**Ответ:** 301
-*   К 3-й строке прибавим 2-ю, умноженную на $0.5$ (или сначала поменяем строки для удобства). +
-*   Пусть для простоты: ко 2-й строке прибавим 3-ю, умноженную на $2$. +
- +
-$$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 18 & 25 \\ 0 & -4 & 7 & 0 \\ 0 & 13 & -2 & 33 \end{vmatrix}$$ +
- +
-Поменяем 2-ю и 3-ю строки местами (знак определителя меняется на $-$): +
-$$D = - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -4 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 18 & 25 \\ 0 & 13 & -2 & 33 \end{vmatrix}$$ +
- +
-**Шаг 3: Продолжим упрощение.** +
-*   К 4-й строке прибавим 2-ю, умноженную на $\frac{13}{4} = 3.25$: +
-    $13 + (-4 \cdot 3.25) = 0$ +
-    $-2 + (7 \cdot 3.25) = -2 + 22.75 = 20.75$ +
-    $33 + (0 \cdot 3.25) = 33$ +
- +
-$$D = - \begin{vmatrix} 1 & -4 & 7 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 18 & 25 \\ 0 & 0 & 20.75 & 33 \end{vmatrix} \text{ (для порядка } 2 \times 2 \text{ внизу)}$$ +
- +
-Вычислим оставшийся минор $2 \times 2$: +
-$18 \cdot 33 - 25 \cdot 20.75 = 594 - 518.75 = 75.25$ +
- +
-Умножим на $(-1)$ от перестановки и на $(-4)$ из диагонали: +
-$D = -1 \cdot (1 \cdot (-4) \cdot 75.25) = 4 \cdot 75.25 = 301$ +
- +
-**Ответ а):** $301$+
  
 --- ---
  
-### Пункт б) +^ Задача 13.1 (б) ^ 
- +Вычислить определитель:
-Вычислим определитель:+
 $$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 4 & 3 \\ -3 & 0 & -8 & -13 \end{vmatrix}$$ $$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 4 & 3 \\ -3 & 0 & -8 & -13 \end{vmatrix}$$
  
-**Шаг 1: Обнулим первый столбец.** +=== Пошаговое решение ===
-*   Из 2-й строки вычтем 1-ю. +
-*   К 3-й строке прибавим 1-ю. +
-*   К 4-й строке прибавим 1-ю, умноженную на $3$. +
- +
-$$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & -2 & 5 \\ 0 & -2 & 5 & 1 \\ 0 & -3 & -5 & -19 \end{vmatrix}$$ +
- +
-**Шаг 2: Обнулим второй столбец.** +
-*   Поменяем 2-ю и 3-ю строки (знак $-$): +
-$$D = - \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 5 & 1 \\ 0 & 4 & -2 & 5 \\ 0 & -3 & -5 & -19 \end{vmatrix}$$ +
-*   К 3-й строке прибавим 2-ю, умноженную на $2$. +
-*   Из 4-й строки вычтем 2-ю, умноженную на $1.5$. +
- +
-$$D = - \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 8 & 7 \\ 0 & 0 & -12.5 & -20.5 \end{vmatrix}$$+
  
-**Шаг 3: Финальный расчет.** +| **Шаг 1** | Обнуляем первый столбец: \\ $R_2 \to R_2 - R_1$ \\ $R_3 \to R_3 + R_1$ \\ $R_4 \to R_4 + 3R_1$ | $$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & -2 & 5 \\ 0 & -2 & 5 & 1 \\ 0 & -3 & -5 & -19 \end{vmatrix}$$ | 
-Вычислим определитель нижней части $2 \times 2$: +| **Шаг 2** | Меняем $R_2$ и $R_3$ местами (знак меняется на $-$). | $$D = - \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 5 & 1 \\ 0 & 4 & -2 & 5 \\ 0 & -3 & -5 & -19 \end{vmatrix}$$ | 
-$8 \cdot (-20.5) - 7 \cdot (-12.5) = -164 + 87.5 = -76.5$+| **Шаг 3** | Обнуляем второй столбец под $-2$: \\ $R_3 \to R_3 + 2R_2$ \\ $R_4 \to R_4 - 1.5R_2$ | $$D = - \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 8 & 7 \\ 0 & 0 & -12.5 & -20.5 \end{vmatrix}$$ | 
 +| **Шаг 4** | Считаем произведение диагонали: \\ $D = -1 \cdot 1 \cdot (-2) \cdot (8 \cdot (-20.5) - 7 \cdot (-12.5))$ | $$D = 2 \cdot (-164 + 87.5) = 2 \cdot (-76.5) = -153$$ |
  
-Итоговое значение: +**Ответ:** -153
-$D = -1 \cdot (1 \cdot (-2) \cdot (-76.5)) = -1 \cdot 153 = -153$+
  
-**Ответ б):** $-153$