Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math:12.3 [2026/03/18 18:14] – root
+++ math:12.3 [2026/03/18 18:17] (текущий) – [12.3. Вычислить определители] root
@@ Строка 59: / Строка 59: @@
 **Ответ:** $a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_n$
-===== 12.3. Вычислить определители =====
-=== б) ===
-$$\begin{vmatrix}
-a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & a_n \\
--a_1 & x_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
--a_2 & 0 & x_2 & \cdots & 0 & 0 \\
-\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
-& 0 & 0 & \cdots & x_{n-1} & 0 \\
-& 0 & 0 & \cdots & -y_n & x_n
-\end{vmatrix}$$
-**Решение.**
-Обозначим размер матрицы $N = n+1$. Для вычисления определителя воспользуемся разложением по последней строке. В последней строке только два ненулевых элемента: $-y_n$ в столбце $n-1$ и $x_n$ в столбце $n$. Тогда
-$$\det = y_n \cdot M_{n,\,n-1} + x_n \cdot M_{n,\,n},$$
-где $M_{n,\,n-1}$ – минор, получаемый вычёркиванием последней строки и $(n-1)$-го столбца, а $M_{n,\,n}$ – минор без последней строки и последнего столбца.
-**Вычисление $M_{n,n}$.**
-Это определитель матрицы размера $n$, состоящей из строк $0,\dots,n-1$ и столбцов $0,\dots,n-1$. Она имеет вид:
-$$ \begin{pmatrix}
-a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-1} \\
--a_1 & x_1 & \cdots & 0 \\
-\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
--a_{n-1} & 0 & \cdots & x_{n-1}
-\end{pmatrix}. $$
-Её определитель можно найти, например, разложением по первому столбцу. Получается рекуррентная формула, приводящая к результату:
-$$M_{n,n}= a_0\prod_{i=1}^{n-1}x_i + \sum_{i=1}^{n-1} a_i^2 \prod_{\substack{j=1\\j\neq i}}^{n-1} x_j.$$
-**Вычисление $M_{n,n-1}$.**
-Этот минор получается вычёркиванием последней строки и $(n-1)$-го столбца. Оставшаяся матрица имеет размер $n$; её последний столбец (исходный $n$-й) содержит единственный ненулевой элемент $a_n$ в первой строке. Разлагая по этому столбцу, находим:
-$$M_{n,n-1}= a_n\cdot (-1)^{n-1} \cdot M',$$
-где $M'$ – определитель матрицы, получаемой после дополнительного вычёркивания первой строки и $n$-го столбца. Эта матрица имеет размер $n-1$ и структуру, аналогичную предыдущей, но с последней строкой, содержащей только $-a_{n-1}$ в первом столбце. Её определитель равен $(-1)^{n+1}a_{n-1}\prod_{i=1}^{n-2}x_i$. В итоге
-$$M_{n,n-1}= a_{n-1}a_n \prod_{i=1}^{n-2}x_i.$$
-Подставляя полученные выражения, получаем общую формулу.
-**Ответ.**
-- При $n=1$: $\det = a_0x_1 + a_1y_1$.
-- При $n\ge 2$:
-$$\det = a_0x_n\prod_{i=1}^{n-1}x_i + \sum_{i=1}^{n-2} a_i^2 x_n \prod_{\substack{j=1\\j\neq i}}^{n-1}x_j + a_{n-1}\bigl(x_n a_{n-1}+y_n a_n\bigr)\prod_{j=1}^{n-2}x_j.$$
-=== в) ===
-$$\begin{vmatrix}
-a_0 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
-a_1 & x & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
-a_2 & 0 & x & -1 & 0 & 0 \\
-\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
-a_{n-1} & 0 & 0 & \cdots & x & -1 \\
-a_n & 0 & 0 & \cdots & 0 & x
-\end{vmatrix}$$
-**Решение.**
-Обозначим искомый определитель через $D_n$ (матрица порядка $n+1$). Разложим его по последней строке. Элемент $a_n$ стоит в первом столбце, а $x$ – на последнем месте. Получаем:
-$$D_n = a_n (-1)^n M_{n0} + x D_{n-1},$$
-где $M_{n0}$ – минор, получаемый вычёркиванием последней строки и первого столбца. Анализ структуры этого минора показывает, что он равен $(-1)^n$. Действительно, для $n=1$ имеем $M_{10}=-1=(-1)^1$, для $n=2$: $M_{20}=1=(-1)^2$, и по индукции $M_{n0}=(-1)^n$. Тогда
-$$D_n = a_n (-1)^n \cdot (-1)^n + x D_{n-1} = a_n + x D_{n-1}.$$
-При $n=0$ (матрица $1\times1$) $D_0 = a_0$. Последовательно получаем:
-$$D_n = a_n + x(a_{n-1}+ xD_{n-2}) = \ldots = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n.$$
-**Ответ.**
-$$\det = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_n.$$